【算法】Prüfer编码 —— HNOI2004树的计数
的确,如果不知道这个编码的话的确是一脸懵逼。在这里放一篇认为讲的很详细的 BLOG,有关于编码的方式 & 扩展在里面都有所提及。
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在这里主要想推导一下最后面的扩展公式是怎么来的。问题:给定一棵树 & 树上各个节点的度数,求有多少棵满足要求的生成树?
在了解了Prüfer编码之后,我们已经知道编码与生成树是一一对应的关系了,且一个数在Prüfer编号上面出现的次数即为它的度数 - 1;问题转化成为:一个长度为 \(n - 2\) 的序列中均为范围在 \(1\) ~ \(n\)的数字,规定了每个数字出现的次数,问有多少个合法的序列?首先不考虑是否合法,规定排列当中的数字各不相同,这样的排列有 \(\left ( n - 2 \right )!\) 种。但这样明显统计多了,因为当有相同的数字出现时,交换它们之间的相对位置并不会改变排列的实质。于是我们要在此基础之上除以每一种相同数字的排列数 : \(\prod \left ( d[i] - 1 \right )!\)。
所以最后的式子是: \(\frac{\left ( n - 2 \right )!}{\prod \left ( d[i] - 1 \right )! }\)
HNOI2004树的计数就是一道和和上面这个问题一模一样的题,实际上HNOI2008明明的烦恼也是同一道题(实在是不忍吐槽)。不过后者要写高精,我懒……
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 1000
#define int long long
int n, d[maxn], cal[maxn];
int sum, ans = , a[maxn]; int read()
{
int x = , k = ;
char c;
c = getchar();
while(c < '' || c > '') { if(c == '-') k = -; c = getchar(); }
while(c >= '' && c <= '') x = x * + c - '', c = getchar();
return x * k;
} signed main()
{
n = read(); cal[] = ;
for(int i = ; i <= n; i ++) cal[i] = cal[i - ] * i;
for(int i = ; i <= n; i ++)
{
d[i] = read(); if(d[i])
sum += d[i] - ;
if(d[i] == && n != ) { printf("0\n"); return ; }
a[i] = cal[d[i] - ];
}
if(sum != n - ) { printf("0\n"); return ; }
sort(a + , a + + n);
int j = ;
while(a[j] == && j < n) j ++;
for(int i = ; i <= n - ; i ++)
{
ans *= i;
while(j <= n && !(ans % a[j])) ans /= a[j], j ++;
}
printf("%lld\n", ans);
return ;
}
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