[codeforces 200 E Tractor College]枚举，扩展欧几里得，三分

题目出自 Codeforces Round #126 (Div. 2) 的E。

题意大致如下：给定a，b，c，s，求三个非负整数x，y，z，满足0<=x<=y<=z，ax+by+cz=s，使得f(x,y,z)=|ax-by|+|by-cz|最小

思路：枚举z，得到一个方程ax+by=s-cz，用扩展欧几里得求出这个方程的一个解，然后三分通解的整系数，求出最小f值。至于为什么可以三分画画图就清楚了，两个绝对值函数叠加在一起最多只有三种状态(第一维表示临界点较小的那个绝对值函数)：(降,降)，(升,降)，(升,升)，无论两个函数哪个变化快，最终趋势都是：降然后升(由于临界点的情况不同，可能变成了单调的，但并不影响我们用三分求解)。

思来想去，决定搞一个三分的框架来避免头疼的临界问题（这是求最小值，求最大值时只需把<=换成>=即可，另外函数值在一段范围内不发生变化可能导致结果出错）：

1 2 3 4 5 6 7

int L = ..., R = ...; while (L < R) {     int M1 = L + (R - L) / 3, M2 = R - (R - L) / 3;     if (F(M1) <= F(M2)) R = M2 - 1;     else L = M1 + 1;  }  solve(L);

出while循环后 L=R=目标解

下面是题目的源码：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122

/* ******************************************************************************** */ #include <iostream>                                                                 // #include <cstdio>                                                                   // #include <cmath>                                                                    // #include <cstdlib>                                                                  // #include <cstring>                                                                  // #include <vector>                                                                   // #include <ctime>                                                                    // #include <deque>                                                                    // #include <queue>                                                                    // #include <algorithm>                                                                // #include <map>                                                                      // #include <cmath>                                                                    // using namespace std;                                                                //                                                                                     // #define pb push_back                                                                // #define mp make_pair                                                                // #define X first                                                                     // #define Y second                                                                    // #define all(a) (a).begin(), (a).end()                                               // #define fillchar(a, x) memset(a, x, sizeof(a))                                      //                                                                                     // typedef pair<int, int> pii;                                                         // typedef long long ll;                                                               // typedef unsigned long long ull;                                                     //                                                                                     // #ifndef ONLINE_JUDGE                                                                // void RI(vector<int>&a,int n){a.resize(n);for(int i=0;i<n;i++)scanf("%d",&a[i]);}    // void RI(){}void RI(int&X){scanf("%d",&X);}template<typename...R>                    // void RI(int&f,R&...r){RI(f);RI(r...);}void RI(int*p,int*q){int d=p<q?1:-1;          // while(p!=q){scanf("%d",p);p+=d;}}void print(){cout<<endl;}template<typename T>      // void print(const T t){cout<<t<<endl;}template<typename F,typename...R>              // void print(const F f,const R...r){cout<<f<<", ";print(r...);}template<typename T>   // void print(T*p, T*q){int d=p<q?1:-1;while(p!=q){cout<<*p<<", ";p+=d;}cout<<endl;}   // #endif // ONLINE_JUDGE                                                              // template<typename T>bool umax(T&a, const T&b){return b<=a?false:(a=b,true);}        // template<typename T>bool umin(T&a, const T&b){return b>=a?false:(a=b,true);}        // template<typename T>                                                                // void V2A(T a[],const vector<T>&b){for(int i=0;i<b.size();i++)a[i]=b[i];}            // template<typename T>                                                                // void A2V(vector<T>&a,const T b[]){for(int i=0;i<a.size();i++)a[i]=b[i];}            //                                                                                     // const double PI = acos(-1.0);                                                       // const int INF = 1e9 + 7;                                                            //                                                                                     // /* -------------------------------------------------------------------------------- */   ll x, y, z, a, b, c, a0, b0;   ll gcd(ll a, ll b) {     return b? gcd(b, a % b) : a; } void gcd(ll a, ll b, ll &d, ll &x, ll &y) {     if (!b) {         d = a; x = 1; y = 0;     }     else {         gcd(b, a % b, d, y, x);         y -= x * (a / b);     } } ll f(ll k) {     ll xx = x + k * b0, yy = y - k * a0;     return abs(xx * a - yy * b) + abs(yy * b - z * c); } bool chk(ll k1, ll k2) {     if (x + k1 * b0 < 0) return false;     if (x + k1 * b0 > z) return true;     if (y - k1 * a0 < 0) return true;     if (y - k1 * a0 > z) return false;     if (x + k2 * b0 < 0) return false;     if (x + k2 * b0 > z) return true;     if (y - k2 * a0 < 0) return true;     if (y - k2 * a0 > z) return false;     if (x + k1 * b0 > y - k1 * a0) return true;     if (x + k2 * b0 > y - k2 * a0) return true;     return f(k1) <= f(k2); } int main() { #ifndef ONLINE_JUDGE     freopen("in.txt", "r", stdin);     //freopen("out.txt", "w", stdout); #endif // ONLINE_JUDGE     int n, s;     cin >> n >> s;     int cnt[3] = {};     for (int i = 0; i < n; i ++) {         int x;         scanf("%d", &x);         cnt[x - 3] ++;     }     a = cnt[0], b = cnt[1], c = cnt[2];     ll ans = INF, ix, iy, iz;     for (z = 1; z * c <= s; z ++) {         ll g;         gcd(a, b, g, x, y);         if ((s - z * c) % g) continue;         ll K = (s - z * c) / g;         x *= K;         y *= K;         a0 = a / g;         b0 = b / g;         ll L = -INF, R = INF;         while (L < R) {             ll M1 = L + (R - L) / 3, M2 = R - (R - L) / 3;             if (chk(M1, M2)) R = M2 - 1;             else L = M1 + 1;         }         ll xx = x + L * b0, yy = y - L * a0;         if (0 <= xx && xx <= yy && yy <= z) {             if (umin(ans, f(L))) {                 ix = xx;                 iy = yy;                 iz = z;             }         }     }     if (ans < INF) cout << ix << " " << iy << " " << iz << endl;     else puts("-1");     return 0; } /* ******************************************************************************** */