PAT乙级：1070 结绳 (25分)

PAT乙级：1070 结绳 (25分)

题干

给定一段一段的绳子，你需要把它们串成一条绳。每次串连的时候，是把两段绳子对折，再如下图所示套接在一起。这样得到的绳子又被当成是另一段绳子，可以再次对折去跟另一段绳子串连。每次串连后，原来两段绳子的长度就会减半。

给定 N 段绳子的长度，你需要找出它们能串成的绳子的最大长度。

输入格式：

每个输入包含 1 个测试用例。每个测试用例第 1 行给出正整数 N (2≤N≤104)；第 2 行给出 N 个正整数，即原始绳段的长度，数字间以空格分隔。所有整数都不超过104。

输出格式：

在一行中输出能够串成的绳子的最大长度。结果向下取整，即取为不超过最大长度的最近整数。

输入样例：

8
10 15 12 3 4 13 1 15

输出样例：

14

思路

​ 这道题我愚蠢地用了二叉堆去做，然后一看柳神的，原来贪心就可以……

​ 下面给出贪心算法正确的证明：证明最短的两条绳子对半融合后仍然是最小的一段绳子

1. 前提：绳子有4段以上

2. 给出前提的理由：绳子端数小于4时，例如3条:\(a,b,c\)，\(ab\)融合成\(d\)，不论\(d>c\space or\space d<c\),都只剩两条绳子，只能互相结合了。

3. 不妨假设绳子有四条，分别为$a,b,c,d,\space a<b<c<d $

   \[\begin{split}
   e=(a+b)/2\\
   \because a<c,b<c\\
   \therefore a<d,b<d\\
   \therefore a+b<2d\\
   \therefore e<d\\
   \because a<c,b<c\\
   \therefore a+b<2c\\
   \therefore e<c\\
   \therefore e<c<d
   \end{split}
   \]

   可得出结论，最小的两个绳子结合后一定也是最小的一段绳子。证明比较简单。

code

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
bool cmp(int a,int b){
	return a>b;
}
int main(){
	int n=0,temp=0;
	cin>>n;
	vector<int> rope(n);
	for(int i=0;i<n;i++) cin>>rope[i];
	sort(rope.begin(),rope.end(),cmp);
	while(rope.size()>1){
		temp=(rope[rope.size()-1]+rope[rope.size()-2])/2;
		rope.pop_back(),rope.pop_back();
		rope.push_back(temp);
	}
	cout<<rope[0]<<endl;
	return 0;
}