题解 AtCoder Beginner Contest 168

小兔的话

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AtCoder Beginner Contest 168

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A - ∴ (Therefore)

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B - ... (Triple Dots)

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C - : (Colon)

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D - .. (Double Dots)

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E - ∙ (Bullet)

简单题意

小兔捕获了 \(N\) 条不同的沙丁鱼，第 \(i\) 条沙丁鱼的 美味程度 和 香味程度 分别是 \(A_i\) 和 \(B_i\)

她想在这些沙丁鱼中选择 一条 或者 多条 放入冷冻箱；但是必须保证沙丁鱼的选择是合格的

（合格的定义：其中的任意两条沙丁鱼 \(i\) 和 \(j\) 都不满足 \(A_i \times A_j + B_i \times B_j = 0\)）

小兔想知道有多少种选择沙丁鱼的方法（选择的沙丁鱼的集合相同，算同一种方法），答案对 \(1e9 +7\) 取模

数据范围

\(1 \leq N \leq 2 \times 10^5\)

\(-10^{18} \leq A_i, B_i \leq 10^{18}\)

知识点

• 数学知识
  • 最大公约数 \(\mathrm{gcd}\)
  • 快速幂
• STL
  • map
  • pair

分析

需要不满足的式子与 \(i\) 和 \(j\) 的关系太大了，不妨化简一下：

\[A_i \times A_j + B_i \times B_j = 0 \to A_i \times A_j = - B_i * B_j \to \frac{A_i}{B_i} = - \frac{B_j}{A_j}
\]

我们可以把 \(\frac{A_i}{B_i}\) 相同的分成一组，统计出属于这一组的沙丁鱼的数量，再把 \(\frac{A_i}{B_i}\) 和 \(- \frac{B_j}{A_j}\) 的两组分成一对，这一对肯定是互相满足的（就是 \(C\) 与 \(D\) 是一对，反过来 \(D\) 肯定与 \(C\) 是一对，\(D\) 不会和其它成为一对）

我们计算每一对里的选择方案，把所有的选择方案数乘起来再 减一（排除全部不选的情况），就是最终的答案了

如何计算每一对里的选择方案呢？

可以先计算每一对中每组的选择方案，设属于这一组的沙丁鱼有 \(s\) 条，选择沙丁鱼的方案数就是 \(2^s\)（每条鱼有 被选择 和 不被选择 \(2\) 种情况）

那么每一对的方案数就是 \(s_1 + s_2 - 1\)

• 因为其中的两组是不能同时选的，所以是 \(+\) 而不是 \(\times\)
• 因为在统计 \(s_1\) 被选的时候，\(s_2\) 一定是不选的；同理，在统计 \(s_2\) 被选的时候，\(s_1\) 一定是不选的；需要减去这 \(2\) 种多算的情况；又因为 \(2\) 组都不选也是 \(1\) 种合格的情况，所以又要加上 \(1\) 种情况，所以是 \(+1\)

代码

#include <cstdio>
#include <map>
#include <utility>
using namespace std;
#define int long long

int Gcd(int u, int v) { return (v == 0) ? u : Gcd(v, u % v); }
int Max(int u, int v) { return (u > v) ? u : v; }
int Min(int u, int v) { return (u < v) ? u : v; }

int rint()
{
    int x = 0, fx = 1; char c = getchar();
    while (c < '0' || c > '9') { fx ^= ((c == '-') ? 1 : 0); c = getchar(); }
    while ('0' <= c && c <= '9') { x = (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48); c = getchar(); }
    if (!fx) return -x;
    return x;
}

int qpow(int u, int v, int Mod)
{
	int ans = 1; u %= Mod;
	while (v)
	{
		if (v & 1) ans = ans * u % Mod;
		u = u * u % Mod; v >>= 1;
	}
	return ans;
}

const int MOD = 1e9 + 7;
const int MAX_n = 2e5;

int n, ans = 1, sum = 0;
int A[MAX_n + 5];
int B[MAX_n + 5];
map<pair<int, int>, int> G;
map<pair<int, int>, bool> vis;

signed main()
{
	n = rint();
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		A[i] = rint(), B[i] = rint();
		if (A[i] == 0 && B[i] == 0)
		{
			++sum; --i; --n; continue;
		}
		int temp = Gcd(A[i], B[i]);
		A[i] /= temp; B[i] /= temp;
		if (A[i] < 0) { A[i] = -A[i]; B[i] = -B[i]; }
		++G[make_pair(A[i], B[i])];
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		pair<int, int> now = make_pair(A[i], B[i]);
		if (-B[i] < 0)  { B[i] = -B[i]; A[i] = -A[i]; }
		pair<int, int> other = make_pair(-B[i], A[i]);
		if (vis[now] || vis[other]) continue;
		vis[now] = vis[other] = true;
		ans = ans * ((qpow(2, G[now], MOD) + qpow(2, G[other], MOD) - 1) % MOD) % MOD;
	}
	printf("%lld\n", (ans - 1 + sum + MOD) % MOD);
	return 0;
}

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F - . (Single Dot)

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