问题描述:

已知n个人(以编号0,2,3...n-1分别表示)围坐在一起。从编号为0的人开始报数,数到k的那个人出列;他的下一个人又从1开始报数,数到k的那个人又出列;依此规律重复下去,直到圆桌周围的人全部出列,最后一个出列的人为胜利者。求胜利者编号.


历史背景:

Wikipedia: 这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫斯命名的,它是1世纪的一名犹太历史学家。

他在自己的日记中写道,他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。

他们讨论是自杀还是被俘,最终决定自杀,并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。

约瑟夫斯说服了那个人,他们将向罗马军队投降,不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意,他不知道是哪一个.

问题分析:解决该问题有两种思路,第一种:通过建立循环链表来模拟这个过程

                  第二种:通过递归方式(数学归纳将问题转化为数学问题)

由于递归方式,代码更简洁,下面首先以递归方式来解决问题

——————递归实现:

例如 对 m= 10,k=3

   0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  (*)

     0  1  3  4  5  6  7  8  9    (* 循环下去)

转化为:       3  4  5  6  7  8  9  0  1  (* 循环下去)

    

            0  1  2  3  4  5  6  7  8

            

            m=10,k=3 去掉一个元素之后,变成了一个m=9,k=3的约瑟夫环问题

           并且有如下关系 

           3 = (0+3)%10   4 = (1+3)%10   ... 0 = (3+7)%10

         即 3 = (0+k)% m    4 =  (1+k) % m       ... 0  = (3+k) % m

          

          m =10,k =3 设约瑟夫环最后一个出列的人为 Joseph(10,3),那么存在如下关系

          Joseph(10,3) = (Joseph(9,3)+k) %m;

          ...

          Joseph(n,k) = (Joseph(n-1,k)+k) % n (n>1);

        

C++实现如下: 

递归方法一:

 1 int Joseph(int m,int k)
2 {
3 if(m<=0||k<=0)
4 {
5 cout<<"error!"<<endl;
6 return -1;
7 }else
8 {
9 if(m==1)
10 {
11 return 0;
12 }else
13 {
14 return ((Joseph(m-1,k)+k)%m);
15 }
16 }
17 }

 递归方法二:如果输出整个出队的顺序

int Joseph(int m,int k,int i)
{
if(m<=0||k<=0||m<i)
{
cout<<"error"<<endl;
return -1; }else
{
if(i==1)
{
return (m+k-1)%m;
}else
{
return ((Joseph(m-1,k,i-1)+k)%m);
}
}
}

程序运行结果如下:

int main()
{
cout<<"递归方法一"<<endl;
cout << Joseph(6,3) << endl;
cout<<"递归方法二"<<endl;
for(int i=1;i<=6;i++)
{
cout<<Joseph(6,3,i)<<endl;
}
getchar();
return 0;
}

结果:

 ——————循环链表实现:

建立节点数据结构:循环链表

struct Node
{
int data;
Node * next;
}; struct LinkedList
{
Node *pHead;
Node *pTail;
int len;
};

建立循环链表

//建立个节点
Node * GetNode(int i)
{
Node * p = (Node *)malloc(sizeof(Node));
if(p!=NULL&&i>=0)
{
p->data = i;
p->next = NULL;
return p; }else
{ cout<<"error"<<endl;
exit(-1);
return NULL;
}
} //建立链表
LinkedList* CreateLinkedList(int i)
{
Node* node = GetNode(0);
LinkedList *head = (LinkedList*)malloc(sizeof(LinkedList));
if(head == NULL)
{
cout<<"CreateLinkedList:memory error"<<endl;
exit(-1);
return NULL;
}
if(i<=0)
{
cout<<"CreateLinkedList: error"<<endl;
exit(-1);
return NULL;
} head->pHead = node;
head->pTail = node;
head->len = 1;
if(i==1)
{
node->next = node;
}else
{
Node *p = head->pHead;
for(int j=1;j<=i-1;j++)
{
Node* node = GetNode(j);
node->data = j;
p->next = node;
p=p->next;
head->len++;
}
head->pTail = p;
p->next = head->pHead;
}
return head; }

删除节点:

//删除节点
void RemoveNode(LinkedList*head,Node *deleNode)
{
Node* p = head->pHead;
cout<<deleNode->data<<endl;
if(p!=NULL){
if(head->len>1){
do
{
if(p->data==deleNode->data)
{
if(p==head->pHead)
{
head->pHead = p->next;
}
if(p==head->pTail)
{
head->pTail = p->next;
}
p->data = p->next->data;
p->next = p->next->next;
head->len--;
return; }else{
p=p->next;
}
}while(p!=head->pHead);
}else
{
cout<<"error";
exit(-1);
return;
}
}else
{
return;
}
}

约瑟夫模拟:

int Joseph(int m,int k)
{
if(m<=0||k<=0)
{
cout<<"error:input"<<endl;
return -1;
}
LinkedList* list = CreateLinkedList(m);
//Print_List(list);
Node * p = list->pHead; for(int i=1;i<=k;i++)
{
if(list->len ==1)
{
return p->data;
}
if(i==k)
{
RemoveNode(list,p);
i = 1;
}
p=p->next;
}
return 0; }

程序运行结果如下:

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{ cout<<"循环列表"<<endl;
cout<<Joseph(6,3)<<endl;
getchar();
return 0;
}

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