正整数a、b、c、d满足ab=cd,则a+b+c+d必定为合数。

证法一:记s=a+b+c+d。如果四个数全为1,s=4,显然是合数。考虑四个数非全1的情形,由对称性,不妨令a>1。

设p是a的一个素因数,由题设有p|c或p|d,不妨令p|c。

由p|a和p|c,知p|(a,c)。设(a,c)=pt,t为正整数。

于是有a=ptm,c=ptn,m和n为正整数且满足(m,n)=1。

由ab=cd,有ptmb=ptnd,即mb=nd。

由(m,n)=1,知m|d以及n|b。

记d=mu,b=nv,u和v为正整数。

于是mb=nd即为mnv=nmu,即有v=u。

s=ptm+nu+ptn+mu=(pt+u)(m+n),pt+u和m+n均大于1,可知s为合数。

证法二:(walls老师提供)

记(a,c)=t,t为正整数。则存在正整数m和n满足

a=mt,c=nt,(m,n)=1

ab=cd即为mtb=ntd,即有mb=nd

由(m,n)=1,知m|d和n|b。

记d=mu,b=nv,u和v为正整数。

mb=nd即为mnv=nmu,即有v=u

a+b+c+d=mt+nu+nt+mu=(t+u)(m+n),t+u和m+n均大于1,可知a+b+c+d为合数。

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