[BZOJ 2186] [Sdoi2008] 沙拉公主的困惑 【欧拉函数】

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题目分析

题目要求出 [1, n!] 中有多少数与 m! 互质。(m <= n)

那么在 [1, m!] 中有 phi(m!) 个数与 m! 互质,如果一个数 x 与 m! 互质，即 gcd(m!, x) = 1，

那么 gcd(m!, m! + x) = 1, gcd(m!, m! * 2 + x) = 1, 即 x + k * m! 都与 m! 互质。

这样就很明确了，[1, n!] 中与 m! 互质的数有 phi(m!) * n! / m! 个。

怎么求 phi(m!) 呢？我们知道，一个数 x 如果包含 p^a ，那么 phi(x) 中就含有 p^(a-1) * (p - 1)。

也就是说， phi(x) = x / pi * (pi - 1) ， pi 是枚举 x 包含的质数。那么 m! 包含的质数就是 [1, m] 的质数，线性筛就可以了。

最后化简 Ans = n! / pi * (pi - 1) 。pi 是 [1, m] 的质数。

代码

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
 
using namespace std;
 
typedef long long LL;
 
const int MaxN = 10000000 + 5, MN = 10000000;
 
int T, Mod, n, m, Top, Ans;
int Prime[MaxN], Fac[MaxN], Inv[MaxN], Pi[MaxN];
 
bool isPrime[MaxN];
 
void Prepare()
{
	for (int i = 1; i <= MN; ++i) isPrime[i] = true;
	isPrime[1] = false;
	for (int i = 2; i <= MN; ++i)
	{
		if (isPrime[i]) Prime[++Top] = i;
		for (int j = 1; j <= Top && i * Prime[j] <= MN; ++j)
		{
			isPrime[i * Prime[j]] = false;
			if (i % Prime[j] == 0) break;
		}
	}
	Inv[1] = 1;
	int q, r;
	for (int i = 2; i <= MN; ++i)
	{
		q = Mod / i;
		r = Mod % i;
		Inv[i] = (int)((LL)(Mod - q) * (LL)Inv[r] % Mod);
	}
	Fac[0] = Pi[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= MN; ++i)
	{
		Fac[i] = (int)((LL)Fac[i - 1] * (LL)i % Mod);
		if (isPrime[i]) Pi[i] = (int)((LL)Pi[i - 1] * (LL)Inv[i] % Mod * (LL)(i - 1) % Mod);
		else Pi[i] = Pi[i - 1];
	}
}
 
int main()
{
	scanf("%d%d", &T, &Mod);
	Prepare();
	for (int Case = 1; Case <= T; ++Case)
	{
		scanf("%d%d", &n, &m);
		Ans = (int)((LL)Fac[n] * (LL)Pi[m] % Mod);
		printf("%d\n", Ans);
	}
	return 0;
}