light oj 1336 sigma function
常用的化简方法(高中就常用了): p^(e+1)-1/p-1= [ p^(e+1) -p + (p-1) ]/ (p-1) = p*(p^e-1)/(p-1) + 1 (也可以直接分解p^e-1)
常用的思路:反面验证 比如本题,求偶数(试探后发现不太好求),则推出奇数条件
再看本题。要想让σ(n)为偶数,只要有一项为偶数即可,
化简变为,观察这个式子,pi都是素数,除2以外都是奇数,所以式子奇偶决定于ei,若ei为奇数,就相当于奇数个奇数(若pi不是2,那么肯定是奇数)相加,再加上1,偶数,反之,若ei为偶数,就是奇数。如果pi刚好是2,是奇数
得出结论:对于n,若将n进行唯一分解之后,如果存在任何一个 pi != 2 且 ei ( 1 <= i <= k )为奇数则 σ(n) 为偶数。
现在需要求的是计算1-n之间能让σ(k)为偶数的k的个数。有些复杂,所以考虑这个问题的反面,求1-n之间能让σ(k)为奇数的k的个数
若σ(n)为奇数,则每一项都必须为奇数,意味着每一项约分之后的都必须为奇数,也就是说每一项的ei都必须是偶数,也就是说n必须为平方数。但是前面证明过当pi为2时,无论ei是什么,这一项都是奇数,然而这些平方数乘以2之后,其σ仍是奇数(如果再乘以2,就是另一个平方数了,所以只需要考虑乘一个2),仍然符合条件。
所以n为平方数,或为平方数的2倍,那么σ(n)为奇数。而小于n的平方数为sqrt(n)个,这些平方数的2倍的个数是sqrt(n/2)。
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
int main()
{
int T;
scanf("%d", &T);
for(int kase = ; kase <= T; kase++)
{
ll n, sum;
scanf("%lld", &n);
sum = n;
sum -= (int)sqrt(n);
sum -= (int)sqrt(n/);
printf("Case %d: %lld\n", kase, sum);
}
return ;
}
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