【2018.10.1】「JOI 2014 Final」年轮蛋糕

题面

一看到求“最小值的最大值”这种问题，就能想到二分了。

二分答案，然后我们要把一圈分成三块，使这三块的大小都$\geq mid$。做法是把环展开成2倍长度的链，先钦定一个起点，然后根据前缀和再二分一下前两块的最小大小（注意前两块要连着），第三块用一圈的大小减去前两块的大小即可得到。如果第三块的大小$\geq mid$就返回$true$，提高答案范围；否则返回$false$，降低答案范围。

这样就能卡着最优情况下最小那一块的最大值从而得出答案了。

上面这种做法是$O(n*log_n*log_a)$，且二分次数多，常数较大，比较卡时。能不能不二分前两块的最小大小而快速求出？

如果做过“不超过某数的最大区间和（所有数非负）”这种单调性显然的题的话应该知道，钦定起点、确定大小这样一个做法在单调意义下可以滑动窗口。在这里前两块其实也是滑窗，因此省掉了内层的二分。时间复杂度$O(n*log_a)$。

当然，把枚举起点的循环放到二分外边会快一点。

也可以改变枚举量（WZQ的做法），就是把二分最小大小 改为 二分前两块的长度，提高答案范围当且仅当第一块的大小$\leq mid$，第二、三块的大小$\geq mid$。这样时间复杂度大概为$O(n*log_n*log_n)$。

 #include<cstdio>
 #include<cstdlib>
 #include<cstring>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 #define N 100002
 inline int read(){
     int x=; bool f=; char c=getchar();
     for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=;
     for(; isdigit(c);c=getchar()) x=(x<<)+(x<<)+(c^'');
     if(f) return x;
     return -x;
 }
 int n,n1;
 long long a[N<<],sfx[N<<];
 long long judge(long long x){
     //printf("x:%d\n",x);
     int dir,dir2; long long mx=-;
     for(int i=;sfx[i+n1-]-sfx[i-]>=x*;++i){
         dir=lower_bound(sfx+i,sfx+i+n1,x+sfx[i-])-sfx;
         if(sfx[dir]-sfx[i-]>x) --dir;
         if(dir<i) continue;
         dir2=lower_bound(sfx+dir+,sfx+i+n1,x+sfx[dir])-sfx;
         if(dir2<=dir) dir2=dir+;
         //printf("%d %d %lld %lld %lld\n",dir,dir2,sfx[dir]-sfx[i-1],sfx[dir2]-sfx[dir],sfx[i+n1-1]-sfx[dir2]);
         //cout<<(dir2<i+n1-1)<<' '<<(sfx[i+n1-1]-sfx[dir2]>=sfx[dir]-sfx[i-1])<<'\n';
         if(dir2<i+n1- && sfx[i+n1-]-sfx[dir2]>=sfx[dir]-sfx[i-]) mx=max(mx,sfx[dir]-sfx[i-]);
     }
     //printf("MX:%lld\n",mx);
     return mx;
 }
 
 int main(){
     n=n1=read();
     int i;
     for(i=;i<=n;i++) a[i]=a[i+n]=read(), sfx[i]=sfx[i-]+a[i];
     n<<=;
     for(;i<=n;i++) sfx[i]=sfx[i-]+a[i];
     long long l=,r=(sfx[n]+n-)/,mid,ret,ans=-;
     while(l<=r){
         mid=(l+r)>>;
         ret=judge(mid);
         if(ret!=-) ans=ret, l=mid+;
         else r=mid-;
     }
     printf("%lld\n",ans);
     return ;
 }

最外层二分答案（较慢）

 #include<cstdio>
 #include<cstdlib>
 #include<cstring>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 #define N 100002
 inline int read(){
     int x=; bool f=; char c=getchar();
     for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=;
     for(; isdigit(c);c=getchar()) x=(x<<)+(x<<)+(c^'');
     if(f) return x;
     return -x;
 }
 int n,n1;
 long long a[N<<],sfx[N<<];
 
 long long judge(int i,long long x){
     //printf("faq:%d %lld\n",i,x);
     int dir,dir2;
     dir=lower_bound(sfx+i,sfx+i+n1,x+sfx[i-])-sfx;
     if(sfx[dir]-sfx[i-]>x) --dir;
     if(dir<i || dir>=i+n1-) return -;
 
     dir2=lower_bound(sfx+dir+,sfx+i+n1,(sfx[dir]<<)-sfx[i-])-sfx;
     if(dir2>=i+n1-) return -;
 
     //printf("%d %d %lld %lld %lld\n",dir,dir2,sfx[dir]-sfx[i-1],sfx[dir2]-sfx[dir],sfx[i+n1-1]-sfx[dir2]);
     if(sfx[i+n1-]-sfx[dir2]>=sfx[dir]-sfx[i-]) return sfx[dir]-sfx[i-];
     return -;
 }
 int main(){
     n=n1=read();
     int i;
     for(i=;i<=n;i++) a[i]=a[i+n]=read(), sfx[i]=sfx[i-]+a[i];
     n<<=;
     for(;i<=n;i++) sfx[i]=sfx[i-]+a[i];
     int dir,dir2;
     long long ans=-;
     for(int i=; i<=n1; i++){
         long long l=,r=sfx[n1]/,mid,ret,res=-;
         while(l<=r){
             mid=(l+r)>>;
             ret=judge(i,mid);
             if(ret!=-) res=ret, l=mid+;
             else r=mid-;
         }
         ans=max(ans,res);
     }
     printf("%lld\n",ans);
     return ;
 }

最外层枚举起点（快一点）

 #include<algorithm>
 #include<iostream>
 #include<cstdlib>
 #include<cstring>
 #include<cstdio>
 #include<cmath>
 #include<queue>
 #define ll long long
 using namespace std;
 const int maxn=+;
 inline int read(){
     int x=,f=;char ch=getchar();
     for(;!isdigit(ch);ch=getchar())if(ch=='-')f=-;
     for(;isdigit(ch);ch=getchar())x=(x<<)+(x<<)+ch-'';
     return x*f;
 }
 ll n,a[maxn],sum,num[maxn];
 
 bool erfe(ll l,ll r,ll he){
     ll l1=l,r1=r,ans=;
     while(r1>=l1){
         ll mid=r1+l1>>;
         ll qq=num[mid]-num[l-],ww=num[n]-qq-he;
         if(qq>=he){
             if(ww>=he)return ;
             else r1=mid-;
         }
         else l1=mid+;
     }
     return ;
 }
 ll aa;
 ll erf(ll l,ll r){
     ll l1=l,r1=r,ans=;
     while(r1>=l1){
         ll mid=r1+l1>>;
         if(num[mid]-num[l-]<=sum){
             if(erfe(mid+,r,num[mid]-num[l-]))ans=max(ans,num[mid]-num[l-]),l1=mid+;
             else r1=mid-;
         }
         else r1=mid-;
     }
     return ans;
 }
 
 ll ans=;
 void zj(){
     for(ll i=;i<=n;i++){
         ans=max(ans,erf(i,n+i-));
     }
     printf("%lld",ans);
     return ;
 }
 
 int main(){
     n=read();
     for(ll i=;i<=n;i++){
         a[i]=read();
         num[i]=num[i-]+a[i];
         sum+=a[i];
     }
     for(ll i=n+;i<=*n;i++)a[i]=a[i-n],num[i]=num[i-]+a[i];
     sum=sum/;
     zj();
     return ;
 }

WZQ的做法

滑窗没写先凑乎吧。