题解报告：hdu 1098 Ignatius's puzzle

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1098

题目中文是这样的：

　　伊格内修斯在数学上很差，他遇到了一个难题，所以他别无选择，只能上诉埃迪。 这个问题描述：f（x）= 5 * x ^ 13 + 13 * x ^ 5 + k * a * x，输入一个非正整数k（k <10000），找到最小非负整数a， 使得任意的整数x，65 | f（x）如果不存在那个a，就打印“否”。

输入

　　输入包含多个测试用例。 每个测试用例由非负整数k组成，样例输入中有更多详细信息。

输出

　　输出包含一个字符串“no”，如果找不到a，或者您应该输出一行包含示例输出中的a.More详细信息。

解题思路：题目的意思就是：给定f(x)=5*x^13+13*x^5+k*a*x，现给出非负整数k ，求取任意x都能使f(x)%65==0成立的最小非负整数a。这道题采用数学归纳法：当x=0时，f（0）=0能够被65整除，即0/65==0，假设f（x）%65==0，则只需证明f（x+1）%65==0，即对于任意的整数x都成立。

下面证明f（x+1）%65==0成立：

因为f(0)=0 能被65整除， 假设（f(1)=18+ka）%65==0，当f(x)能整除65，那么f(x+1)=f(x)+5*[C(13,1)x^12+……+C(13,13)x^0]+13*[C(5,1)x^4……+C(5,5)x^0]+ka=f(x)+5*[C(13,1)x^12+……+C(13,12)x^1]+13*[C(5,1)x^4……+C(5,4)x^1]+18+ka。（二项式展开式）可以发现除（18+ka）这项之外，其他的都能被65整除，所以要使f（x+1）%65==0这个等式成立，只需满足（18+ka）%65==0即可（这是一个必要不充分条件）。

好了，现在问题转化为求（18+ka）%65的那个最小非负整数a，因为k最小取1，即k=1时，a最大能取到65，所以只需枚举a到65即可，若a大于65则输出"no"。

这里证明为什么a只需枚举到65：第一点：当k%65==0时，18+k*a是永远除不尽65的，第二点：k%65!=0时，那么a就从1开始枚举,不断地尝试18+k*a是否能除尽65,找到即止。当a==65，也就是已经找了一个周期了，再找下去也找不到适当的a了，所以a只需枚举到65即可。

AC代码：

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 int main()
 {
     int k,a;
     while(cin>>k){
         for(a=;a<=;a++)
             if((+k*a)%==){cout<<a<<endl;break;}
         if(a>)cout<<"no"<<endl;
     }
     return ;
 }