「ExLucas」学习笔记

前置芝士

  • 中国剩余定理 \(CRT\)

  • \(Lucas\) 定理

  • \(ExGCD\)

  • 亿点点数学知识

给龙蝶打波广告

Lucas 定理

\(C^m_n = C^{m\% mod}_{n\% mod} \times C^{\frac{m}{mod}}_{\frac{n}{mod}}\)

适用条件

  • 给出的数据范围较大（无法用线性求出）

  • 模数很烂的时候（会使阶乘中出现 \(0\)）

  • \(mod\) 必须为质数

证明

证明很恶心，略。

模板

某谷P4720

  1. #include <cstdio>
  2. #include <cstring>
  3. #include <iostream>
  4. #include <algorithm>
  6. #define int long long
  7. #define DEBUG puts ("emmmm");
  9. using namespace std;
  11. const int maxn = 1e5 + 50, INF = 0x3f3f3f3f;
  13. inline int read () {
  14. 	register int x = 0, w = 1;
  15. 	char ch = getchar();
  16. 	for (; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar()) if (ch == '-') w = -1;
  17. 	for (; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar()) x = x * 10 + ch - '0';
  18. 	return x * w;
  19. }
  21. int T, n, m, mod;
  22. int jc[maxn];
  24. inline void Init () {
  25. 	jc[1] = 1;
  26. 	for (register int i = 2; i <= n + m; i ++) {
  27. 		jc[i] = jc[i - 1] * i % mod;
  28. 	}
  29. }
  31. inline int qpow (register int a, register int b) {
  32. 	register int ans = 1;
  33. 	while (b) {
  34. 		if (b & 1) ans = ans * a % mod;
  35. 		a = a * a % mod;
  36. 		b >>= 1;
  37. 	}
  38. 	return ans;
  39. }
  41. inline int C (register int a, register int b) {
  42. 	if (a == 0 || b == 0 || a == b) return 1;
  43. 	if (a < b) return 0;
  44. 	return jc[a] * qpow (jc[a - b], mod - 2) % mod * qpow (jc[b], mod - 2) % mod;
  45. }
  47. inline int Lucas (register int a, register int b) {
  48. 	if (a == 0 || b == 0) return 1;
  49. 	return C (a % mod, b % mod) * Lucas (a / mod, b / mod) % mod;
  50. }
  52. signed main () {
  53. 	T = read();
  54. 	while (T --) {
  55. 		n = read(), m = read(), mod = read();
  56. 		Init ();
  57. 		printf ("%lld\n", Lucas (n + m, n));
  58. 	}
  59. 	return 0;
  60. }

扩展 Lucas

若题目中给出的 \(mod\) 不能保证是质数，当我们在求的时候，还是会出现 \(0\) 的情况，\(ExLuacs\) 就是来解决这种问题的。

STEP1

对于一个非质数 \(p\)，我们可以将其进行质因数分解，化成 \(\prod_ip_i^{k_i}\) 的形式。

我们就可以将原式子 \(C^m_n(mod \; p)\) 化成若干个同余方程：

\(\left\{\begin{matrix}
C^m_n \equiv b_1 (mod \; p_1^{k_1})\\
C^m_n \equiv b_2 (mod \; p_2^{k_2})\\
C^m_n \equiv b_3 (mod \; p_3^{k_3})\\
......\\
C^m_n \equiv b_i (mod \; p_i^{k_i})
\end{matrix}\right.\)

这样最后用 \(CRT\) 求出 \(C^m_n\) 即可。

STEP2

  • 现在问题变成了如何求每个 \(b_i\) 。

\(b_i = C^m_n (mod \; p_i ^ {k_i}) = \frac{n!}{m! \times (n - m)!} (mod \; p_i ^ {k_i})\)

但是我们会发现 \(p_i ^ {k_i}\) 仍不是质数， \(m!\) 和 \((n - m)!\) 的逆元仍求不出来。

所以我们将 \(n!\) 和 \(m!\) 和 \((n - m)!\) 中的所有质因子 \(p_i\) 都提出来，化成：

\(\frac{\frac{n!}{p_i^{k_1}}}{\frac{m!}{p_i^{k_2}} \times \frac{(n - m)!}{p_i^{k_3}}} \times p_i^{k_1-k_2-k_3}\)

这样分母上的就可以求出逆元了。

STEP3

  • 现在问题变成了如何求每个 \(\frac{n!}{p_i^{k_1}}\)

举个栗子！！

例如 \(n=22,p=3,k=2\)

\(n!=22\times 21\times 20\times 19\times 18\times 17\times 16\times 15\times 14\times 13\times 12\times 11\times 10\times 9\times 8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1\)

\(=3^7\times(1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6\times 7) \times (1\times 2\times 4\times 5\times 7\times 8)\times (10\times 11\times 13\times 14\times 16\times 17)\times (19\times 20\times 22)\)

我们会发现这个式子由三部分组成：

  • \(3^7\) 为 \(p^{\frac{n!}{p}}\)

  • \(7!\) 可以继续递归下去求解

  • 可以看出是在 \((mod \; 9)\) 意义下是一个循环节，长度为 \(\frac{n}{p_i^{k_i}}\)，类似 \(19\times 20\times 22\) 这样剩下的直接暴力求即可。

但是我们会发现第一部分会被原式子的分母消掉，所以不用计算，对于剩下的包含质因子 \(p_i\) 的，直接不计算即可。

  1. inline int Calc (register int n, register int p, register int pk) {
  2. 	if (n == 0) return 1;
  3. 	register int ans = 1;
  4. 	for (register int i = 1; i <= pk; i ++) { // 每个循环节
  5. 		if (i % p) ans = ans * i % pk;
  6. 	}
  7. 	ans = qpow (ans, n / pk, pk); // 计算所有的循环节
  8. 	for (register int i = 1; i <= n % pk; i ++) { // 乘下剩下的
  9. 		if (i % p) ans = ans * i % pk;
  10. 	}
  11. 	return ans * Calc (n / p, p, pk) % pk;
  12. }

最后

现在我们已经将所有要用的东西都求出来了，最后直接倒着退回去即可。

代码

某谷P4720

  1. #include <cstdio>
  2. #include <cstring>
  3. #include <iostream>
  4. #include <algorithm>
  5. #include <cmath>
  7. #define int long long
  8. #define DEBUG puts ("emmmm")
  10. const int maxn = 1e5 + 50, INF = 0x3f3f3f3f;
  12. using namespace std;
  14. inline int read () {
  15. 	register int x = 0, w = 1;
  16. 	char ch = getchar ();
  17. 	for (; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar ()) if (ch == '-') w = -1;
  18. 	for (; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar ()) x = x * 10 + ch - '0';
  19. 	return x * w;
  20. }
  22. int n, m, p, tot;
  23. int b[maxn], c[maxn], d[maxn];
  25. inline int qpow (register int a, register int b, register int mod) {
  26. 	register int ans = 1;
  27. 	while (b) {
  28. 		if (b & 1) ans = ans * a % mod;
  29. 		a = a * a % mod;
  30. 		b >>= 1;
  31. 	}
  32. 	return ans;
  33. }
  35. inline int ExGCD (register int a, register int b, register int &x, register int &y) {
  36. 	if (b == 0) {
  37. 		x = 1, y = 0;
  38. 		return a;
  39. 	}
  40. 	register int d = ExGCD (b, a % b, x, y);
  41. 	register int tmp = x;
  42. 	x = y;
  43. 	y = tmp - (a / b) * y;
  44. 	return d;
  45. }
  47. inline int Inv (register int a, register int mod) { // 利用扩展欧几里德求逆元
  48. 	register int x = 0, y = 0;
  49. 	ExGCD (a, mod, x, y);
  50. 	return (x % mod + mod) % mod;
  51. }
  53. inline int Calc (register int n, register int p, register int pk) {
  54. 	if (n == 0) return 1;
  55. 	register int ans = 1;
  56. 	for (register int i = 1; i <= pk; i ++) { // 每个循环节
  57. 		if (i % p) ans = ans * i % pk;
  58. 	}
  59. 	ans = qpow (ans, n / pk, pk); // 计算所有的循环节
  60. 	for (register int i = 1; i <= n % pk; i ++) { // 乘下剩下的
  61. 		if (i % p) ans = ans * i % pk;
  62. 	}
  63. 	return ans * Calc (n / p, p, pk) % pk;
  64. }
  66. inline int C (register int n, register int m, register int p, register int pk) {
  67. 	if (n == 0 || m == 0 || n == m) return 1;
  68. 	if (n < m) return 0;
  69. 	register int nn = Calc (n, p, pk), mm = Calc (m, p, pk), nm = Calc (n - m, p, pk), cnt = 0, k = n - m;
  70. 	while (n) n /= p, cnt += n;
  71. 	while (m) m /= p, cnt -= m;
  72. 	while (k) k /= p, cnt -= k;
  73. 	return nn * Inv (mm, pk) % pk * Inv (nm, pk) % pk * qpow (p, cnt, pk) % pk;
  74. }
  76. inline int CRT () { // 中国剩余定理
  77. 	register int M = 1, ans = 0;
  78. 	for (register int i = 1; i <= tot; i ++) {
  79. 		M *= c[i];
  80. 	}
  81. 	for (register int i = 1; i <= tot; i ++) {
  82. 		d[i] = Inv (M / c[i], c[i]);
  83. 	}
  84. 	for (register int i = 1; i <= tot; i ++) {
  85. 		ans += b[i] * (M / c[i])  * d[i];
  86. 	}
  87. 	return (ans % M + M) % M;
  88. }
  90. inline void ExLucas (register int n, register int m, register int p) {
  91. 	register int tmp = sqrt (p);
  92. 	for (register int i = 2; i <= tmp && p >= 1; i ++) { // 将p拆分质因数
  93. 		register int pk = 1;
  94. 		while (p % i == 0) p /= i, pk *= i;
  95. 		if (pk > 1) {
  96. 			b[++ tot] = C (n, m, i, pk), c[tot] = pk;
  97. 		}
  98. 	}
  99. 	if (p > 1) b[++ tot] = C (n, m, p, p), c[tot] = p;
  100. 	printf ("%lld\n", CRT ());
  101. }
  103. signed main () {
  104. 	n = read(), m = read(), p = read();
  105. 	ExLucas (n, m, p);
  106. 	return 0;
  107. }

例题

[国家集训队]礼物

某谷P2183

思路很简单，就是没取一个 \(w[i]\)，总数就得减小，依次用 \(ExLucas\) 求组合数即可。

代码

  1. #include <cstdio>
  2. #include <cstring>
  3. #include <iostream>
  4. #include <algorithm>
  5. #include <cmath>
  7. #define int long long
  8. #define DEBUG puts ("emmmm")
  10. const int maxn = 1e5 + 50, INF = 0x3f3f3f3f;
  12. using namespace std;
  14. inline int read () {
  15. 	register int x = 0, w = 1;
  16. 	char ch = getchar ();
  17. 	for (; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar ()) if (ch == '-') w = -1;
  18. 	for (; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar ()) x = x * 10 + ch - '0';
  19. 	return x * w;
  20. }
  22. int n, m, p, totw, tot, ans = 1;
  23. int w[maxn];
  24. int b[maxn], c[maxn], d[maxn];
  26. inline void Init () {
  27. 	memset (b, 0, sizeof b);
  28. 	memset (c, 0, sizeof c);
  29. 	memset (d, 0, sizeof d);
  30. 	tot = 0;
  31. }
  33. inline int qpow (register int a, register int b, register int mod) {
  34. 	register int ans = 1;
  35. 	while (b) {
  36. 		if (b & 1) ans = ans * a % mod;
  37. 		a = a * a % mod;
  38. 		b >>= 1;
  39. 	}
  40. 	return ans;
  41. }
  43. inline int ExGCD (register int a, register int b, register int &x, register int &y) {
  44. 	if (b == 0) {
  45. 		x = 1, y = 0;
  46. 		return a;
  47. 	}
  48. 	register int d = ExGCD (b, a % b, x, y);
  49. 	register int tmp = x;
  50. 	x = y;
  51. 	y = tmp - (a / b) * y;
  52. 	return d;
  53. }
  55. inline int Inv (register int a, register int mod) {
  56. 	register int x = 0, y = 0;
  57. 	ExGCD (a, mod, x, y);
  58. 	return (x % mod + mod) % mod;
  59. }
  61. inline int Calc (register int n, register int p, register int pk) {
  62. 	if (n == 0) return 1;
  63. 	register int ans = 1;
  64. 	for (register int i = 1; i <= pk; i ++) {
  65. 		if (i % p) ans = ans * i % pk;
  66. 	}
  67. 	ans = qpow (ans, n / pk, pk);
  68. 	for (register int i = 1; i <= n % pk; i ++) {
  69. 		if (i % p) ans = ans * i % pk;
  70. 	}
  71. 	return ans * Calc (n / p, p, pk) % pk;
  72. }
  74. inline int C (register int n, register int m, register int p, register int pk) {
  75. 	if (n == 0 || m == 0 || n == m) return 1;
  76. 	if (n < m) return 0;
  77. 	register int nn = Calc (n, p, pk), mm = Calc (m, p, pk), nm = Calc (n - m, p, pk), cnt = 0, k = n - m;
  78. 	while (n) n /= p, cnt += n;
  79. 	while (m) m /= p, cnt -= m;
  80. 	while (k) k /= p, cnt -= k;
  81. 	return nn * Inv (mm, pk) % pk * Inv (nm, pk) % pk * qpow (p, cnt, pk) % pk;
  82. }
  84. inline int CRT () {
  85. 	register int M = 1, ans = 0;
  86. 	for (register int i = 1; i <= tot; i ++) {
  87. 		M *= c[i];
  88. 	}
  89. 	for (register int i = 1; i <= tot; i ++) {
  90. 		d[i] = Inv (M / c[i], c[i]);
  91. 	}
  92. 	for (register int i = 1; i <= tot; i ++) {
  93. 		ans += b[i] * (M / c[i]) * d[i];
  94. 	}
  95. 	return (ans % M + M) % M;
  96. }
  98. inline int ExLucas (register int n, register int m, register int p) {
  99. 	Init ();
  100. 	register int tmp = sqrt (p);
  101. 	for (register int i = 2; i <= tmp && p > 1; i ++) {
  102. 		register int pk = 1;
  103. 		while (p % i == 0) p /= i, pk *= i;
  104. 		b[++ tot] = C (n, m, i, pk);
  105. 		c[tot] = pk;
  106. 	}
  107. 	if (p > 1) {
  108. 		b[++ tot] = C (n, m, p, p);
  109. 		c[tot] = p;
  110. 	}
  111. 	return CRT ();
  112. }
  114. signed main () {
  115. 	p = read(), n = read(), m = read();
  116. 	for (register int i = 1; i <= m; i ++) {
  117. 		w[i] = read();
  118. 		totw += w[i];
  119. 	}
  120. 	if (totw > n) {
  121. 		puts ("Impossible");
  122. 	} else {
  123. 		register int sum = n;
  124. 		for (register int i = 1; i <= m; i ++) {
  125. 			ans = (ans * ExLucas (sum, w[i], p)) % p;
  126. 			sum -= w[i];
  127. 		}
  128. 		printf ("%lld\n", ans);
  129. 	}
  130. 	return 0;
  131. }

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