CF1106F Lunar New Year and a Recursive Sequence

题目链接：CF1106F Lunar New Year and a Recursive Sequence

大意：已知\(f_1,f_2,\cdots,f_{k-1}\)和\(b_1,b_2,\cdots,b_k\)，且有递推关系

\[f_i=（\prod_{j=1}^kf_{i-j}^{b_j}）\text%p
\]

对于所有\(i>k\)均成立，给出\(f_n=m\)，求\(f_k\)，\(p=998244353\)

分析：

数论板子大集合

首先很显然有\(f_n=f_k^{q}\)，于是考虑先求出这个\(q\)

看到\(k\leq100\)一般就会想到矩阵乘法之类的

但是这个式子的\(b\)处在乘方的位置，无法直接使用矩阵

注意到模数为998244353，其原根为3

那么我们就可以使用原根来改写这个转移

\[g_i=\prod_{j=1}^kg_{i-j}b_j
\]

这个是可以利用矩阵乘法的，初值\(g_i=0(i<k),g_k=1\)

我们于是可以利用矩乘找到这样的关系式：\(f_k^{q}\equiv f_n(mod\ p),q=g_n\)

这个玩意似乎可以类比的被定义为k次剩余，不过我们显然不会这个玩意

于是我们继续使用原根

我们知道\(f_n\)可以被写作\(3^t\)，那么我们设\(f_k\)可以被写作为\(3^x\)

那么我们就是求满足这个式子的x值：\(3^{xq}\equiv3^t(mod\ p)\)

那么对于指数我们可以直接用exgcd，因为此时有\(xq\equiv t(mod\ p-1)\)

将m转为\(3^t\)时可以使用BSGS

问题就得到了解决QAQ

注意模数会在\(p-1\)和\(p\)之间切换，指数的模数为\(p-1\)（包括上面的矩乘），而在BSGS中的模数则为\(p\)

#include<iostream>
#include<string.h>
#include<string>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<math.h>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
using namespace std;
#define int long long
const int maxd=998244353,N=100000;
const double pi=acos(-1.0);
typedef long long ll;
int n,K,b[120],m;

struct matrix{
	ll x[120][120];
}ans,sum;

matrix operator *(matrix a,matrix b)
{
	matrix c;
	memset(c.x,0,sizeof(c.x));
	int i,j,k;
	for (i=0;i<K;i++)
	{
		for (j=0;j<K;j++)
		{
			for (k=0;k<K;k++)
			{
				c.x[i][j]=(c.x[i][j]+a.x[i][k]*b.x[k][j])%(maxd-1);
			}
		}
	}
	return c;
}

void qpow(int tim)
{
	while (tim)
	{
		int tmp=tim&1;tim/=2;
		if (tmp) ans=ans*sum;
		sum=sum*sum;
	}
}

ll qpow(ll x,ll y)
{
	ll ans=1,sum=x;
	while (y)
	{
		int tmp=y&1;y/=2;
		if (tmp) ans=(ans*sum)%maxd;
		sum=(sum*sum)%maxd;
	}
	return ans;
}

map<ll,ll> mp;
ll bsgs(int a,int b)
{
	int siz=sqrt(maxd-1)+1,i;ll sum=b;
	for (i=0;i<=siz;i++)
	{
		mp[sum]=i;
		sum=(sum*a)%maxd;
	}
	ll tmp=qpow(a,siz);sum=1;
	for (i=1;i<=siz;i++)
	{
		sum=(sum*tmp)%maxd;
		if (mp[sum]) return i*siz-mp[sum];
	}
}

ll gcd(ll x,ll y)
{
	if (!y) return x; else return gcd(y,x%y);
}

void exgcd(ll a,ll b,ll &g,ll &x,ll &y)
{
	if (!b) {x=1;y=0;g=a;return;}
	else
	{
		ll tmpx,tmpy;
		exgcd(b,a%b,g,tmpx,tmpy);
		x=tmpy;y=tmpx-a/b*tmpy;
	}
}

int read()
{
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while ((ch<'0') || (ch>'9')) {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while ((ch>='0') && (ch<='9')) {x=x*10+(ch-'0');ch=getchar();}
	return x*f;
}

signed main()
{
	K=read();
	int i,j;
	for (i=0;i<K;i++) {ans.x[i][i]=1;sum.x[0][i]=read();}
	for (i=0;i<K-1;i++) sum.x[i+1][i]=1;
	ans.x[0][0]=1;
	n=read();m=read();
	qpow(n-K);
	ll q=ans.x[0][0],p=bsgs(3,m);
	//cout << q << " " << p << endl;
	ll tmp=gcd(q,maxd-1);
	if (p%tmp) {printf("-1");return 0;}
	ll x,y,g;
	exgcd(q,maxd-1,g,x,y);
	x=(p/g*x)%(maxd-1);
	if (x<0) x+=(maxd-1);
	printf("%lld",qpow(3,x));
	return 0;
}
/*
3
2 3 5
4 16
*/