BZOJ 1497 最大获利

最大权闭合子图

对于这个题，可以抽象成一个图论模型，如果我们把用户与其要求建立的中转站连边，获得的利益看成正权值，付出的代价看成负权值，我们可以发现，选取一个用户的时候，就相当于选取了一个闭合子图。

这里概述一下闭合子图的概念：有向图的闭合图，闭合图内任意点的任意后继也一定还在闭合图中。

所以我们要选的就是整个图的最大权闭合子图。。

对于这种闭合子图模型，通常使用网络流求解。

对于闭合子图的建图方法，大体上是：

• 建立源点s，与正权点相连，边权为点权

• 建立汇点t，与负权点相连，边权为点权绝对值

• 原图中的边照样连，但是为了防止被割掉，所以边权为INF

然后有一个定理：最大权闭合子图的权值=原图正权值之和-最小割

最小割显然不会去割边权为INF的边，这也是为什么要将依赖关系的边边设为INF的原因。

然而我并不知道怎么证明。。也看不懂怎么证明。。。

所以我们跑一遍dinic就可以啦

#include <bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define full(a, b) memset(a, b, sizeof a)
using namespace std;
typedef long long ll;
inline int lowbit(int x){ return x & (-x); }
inline int read(){
    int X = 0, w = 0; char ch = 0;
    while(!isdigit(ch)) { w |= ch == '-'; ch = getchar(); }
    while(isdigit(ch)) X = (X << 3) + (X << 1) + (ch ^ 48), ch = getchar();
    return w ? -X : X;
}
inline int gcd(int a, int b){ return a % b ? gcd(b, a % b) : b; }
inline int lcm(int a, int b){ return a / gcd(a, b) * b; }
template<typename T>
inline T max(T x, T y, T z){ return max(max(x, y), z); }
template<typename T>
inline T min(T x, T y, T z){ return min(min(x, y), z); }
template<typename A, typename B, typename C>
inline A fpow(A x, B p, C lyd){
    A ans = 1;
    for(; p; p >>= 1, x = 1LL * x * x % lyd)if(p & 1)ans = 1LL * x * ans % lyd;
    return ans;
}
const int N = 5005;
const int M = 50005;
int n, m, cnt, head[N<<4], depth[N<<4];
struct Edge {int v, next, f; } edge[M<<4];

void addEdge(int a, int b, int f){
    edge[cnt].v = b, edge[cnt].f = f, edge[cnt].next = head[a], head[a] = cnt ++;
    edge[cnt].v = a, edge[cnt].f = 0, edge[cnt].next = head[b], head[b] = cnt ++;
}

bool bfs(){
    full(depth, 0);
    queue<int> q;
    depth[0] = 1;
    q.push(0);
    while(!q.empty()){
        int s = q.front(); q.pop();
        for(int i = head[s]; i != -1; i = edge[i].next){
            int u = edge[i].v;
            if(!depth[u] && edge[i].f > 0){
                depth[u] = depth[s] + 1;
                q.push(u);
            }
        }
    }
    return depth[n + m + 1] != 0;
}

int dfs(int s, int a){
    if(s == n + m + 1) return a;
    int flow = 0;
    for(int i = head[s]; i != -1; i = edge[i].next){
        int u = edge[i].v;
        if(depth[u] == depth[s] + 1 && edge[i].f > 0){
            int k = dfs(u, min(a, edge[i].f));
            a -= k, flow += k, edge[i].f -= k, edge[i^1].f += k;
        }
        if(!a) break;
    }
    if(a) depth[s] = -1;
    return flow;
}

int dinic(){
    int ret = 0;
    while(bfs()){
        ret += dfs(0, INF);
    }
    return ret;
}

int main(){

    full(head, -1);
    n = read(), m = read();
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        int w = read();
        addEdge(i + m, n + m + 1, w);
    }
    int sum = 0;
    for(int i = 1; i <= m; i ++){
        int u = read(), v = read(), c = read();
        addEdge(0, i, c), addEdge(i, u + m, INF), addEdge(i, v + m, INF);
        sum += c;
    }
    printf("%d\n", sum - dinic());
    return 0;
}