P1352 没有上司的舞会[树形dp]

题目描述

某大学有N个职员，编号为1~N。他们之间有从属关系，也就是说他们的关系就像一棵以校长为根的树，父结点就是子结点的直接上司。现在有个周年庆宴会，宴会每邀请来一个职员都会增加一定的快乐指数Ri，但是呢，如果某个职员的上司来参加舞会了，那么这个职员就无论如何也不肯来参加舞会了。所以，请你编程计算，邀请哪些职员可以使快乐指数最大，求最大的快乐指数。

输入输出格式

输入格式：

第一行一个整数N。(1<=N<=6000)

接下来N行，第i+1行表示i号职员的快乐指数Ri。(-128<=Ri<=127)

接下来N-1行，每行输入一对整数L,K。表示K是L的直接上司。

最后一行输入0 0

输出格式：

输出最大的快乐指数。

输入输出样例

输入样例#1：

输出样例#1：

解析：

这是一道相当经典的树形dp入门题。

树形$dp$，顾名思义，就是在树这种数据结构上做$dp$，所以要学习树形$dp$，首先要学习树的储存结构和遍历方法。

显然，在这道题中，我们可以以树的深度作为阶段，用某个人的以他为根的子树的最优解作为状态，决策就是某个人来与不来。

那岂不就是直接开一个一维数组$dp[]$来做就得了？

其实不然。

我们会发现这样做忽略了在做当前决策时，之前做过的决策实际上是会当前决策影响的。

考虑如下情形：如果一个人的上司来了，那么他只有不来一种选择；如果一个人的上司没来，那么他既可以来也可以不来。然后这个人的决策又会影响到他的下属，继而传播到整颗子树。

因此，这道题是有后效性的。

不急，对于这种情况，我们再加一维把任意一个人来与不来的情况分开记录，就不会使最优解互相影响了。

假设$dp[i][1]$表示第$i$个人当前如果来的话的最优解，$dp[i][0]$就表示第$i$个人不来时的最优解。

初始化就是对于任意的一个人$i$，有$dp[i][0]=0,dp[i][1]=w[i]$，其中$w[i]$表示这个人的嗑嗨指数。

状态转移方程：

\[{dp[i][1]+=\sum_{j\epsilon son(i) }{dp[j][0]}},
{dp[i][0]=\sum_{j \epsilon son(i)} max(dp[j][0],dp[j][1])}
\]

我们可以$dfs$一遍整棵树，在向下递归时初始化，向上递归时做$dp$。

参考代码：

#include<cstdio>

#include<iostream>

#include<cmath>

#include<cstring>

#include<ctime>

#include<cstdlib>

#include<algorithm>

#include<queue>

#include<set>

#include<map>

#define ri register int

const int N=6010;

const int INF=0x3f3f3f3f;

using namespace std;

inline int read()

{

    int f=1,x=0;char c=getchar();

    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}

    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}

    return x*f;

}

struct rec{

    int next,ver;

}g[N<<1];

int head[N],tot,n,w[N];

int dp[N][2];

bool v[N],fa[N];

void add(int x,int y)

{

    g[++tot].ver=y;

    g[tot].next=head[x],head[x]=tot;

}

void calc(int x)

{

    v[x]=1;

    dp[x][0]=0;

    dp[x][1]=w[x];

    for(ri i=head[x];i;i=g[i].next){

        int y=g[i].ver;

        if(v[y]==1) continue;

        calc(y);

        dp[x][0]+=max(dp[y][1],dp[y][0]);

        dp[x][1]+=dp[y][0];

    }

}

int main()

{

    n=read();

    for(ri i=1;i<=n;i++) w[i]=read();

    int x,y;

    for(ri i=1;i<n;i++){

        x=read(),y=read();

        add(y,x);fa[x]=1;

    }

    getchar();getchar();

    int root;

    for(ri i=1;i<=n;i++){

        if(!fa[i]){

            root=i;

            break;

        }

    }

    calc(root);

    cout<<max(dp[root][1],dp[root][0])<<endl;

    return 0;

}