1.1 递归讲解

  1、定义

      1. 在函数内部,可以调用其他函数。如果一个函数在内部调用自身本身,这个函数就是递归函数。

  2、递归特性

      1. 必须有一个明确的结束条件

      2. 每次进入更深一层递归时,问题规模相比上次递归都应有所减少

      3. 递归效率不高,递归层次过多会导致栈溢出(在计算机中,函数调用是通过栈(stack)这种数据结构实现的,每当进入一个函数调用,

          栈就会加一层栈帧,每当函数返回,栈就会减一层栈帧。由于栈的大小不是无限的,所以,递归调用的次数过多,会导致栈溢出)

1.2 简单事例理解递归原理

    参考博客:https://www.cnblogs.com/Fantinai/p/7806356.html

  1、递归实例

#! /usr/bin/env python
# -*- coding: utf-8 -*-
def digui(num):
print num
if num > 0:
digui(num - 1)
else:
print '------------'
print num digui(3) ''' 执行结果
3
2
1
0
------------
0
1
2
3
'''

递归事例

      1. 每一次函数调用都会有一次返回,并且是某一级递归返回到调用它的那一级,而不是直接返回到main()函数中的初始调用部分。

      2. 第一次递归:n = 3   3入栈【3】

      3. 第二次递归:n = 2   2入栈【3, 2】

      4. 第三次递归:n = 1  1 入栈【3,2,1】

      5. 当n=0时 0>0 为 False,不再递归,print num=0 ,  函数返回到调用他的上一级,即栈顶 n = 1

      6. 接着位置digui(num - 1)向下执行: 此时打印print num  = 1,  1出栈,栈中元素:【3,2】

      7. 依次类推会打印 2,3   所以最终打印结果如右图

                

  2、结果剖析

      1. 为什么会得出上面的结果呢?因为都把调用函数本身之后的代码给忘记了,就是else之后的python 代码。

      2. 在调用函数本身时,它之后的代码并没有结束,而是在等待条件为False 时,再接着执行之后的代码,同一个颜色的print()语句等待对应颜色的函数。

      3. 下面我把此递归函数做了一个分解,详解递归函数,当调用递归函数digui(3)时,执行过程如下:

      

1.2 使用递归求阶乘 解析递归原理

  1、求阶乘代码

#! /usr/bin/env python
# -*- coding: utf-8 -*-
def test(n):
if n == 1:
return 1
else:
res = n*test(n-1)
print "n:%s-----ret:%s"%(n, res)
return res print test(4) #
'''
n:2-----ret:2
n:3-----ret:6
n:4-----ret:24
24
'''

求4的阶乘代码

# 1、递归步骤
'''
1、第一层:test(4) = 4*test(4-1)
2、第二层:test(3) = 3*test(3-1)
3、第三层:test(2) = 2*test(2-1)
4、第四层:test(1) = 1
''' # 2、返回步骤
'''
注:上层调用的位置都是:res = n*test(n-1),所以返回上层后会接着这里向下执行知道return
5、n=1那么就会执行if代码块内的代码return 1此时第四层函数结束: ret = 1
6、第四层函数结束后会接着第三层调用的位置向下执行直到return: ret = 1 * 2
7、第三层函数返回后会回到第二层调用位置return: ret = 1 * 2 * 3
8、第二层函数返回后会回到第一层调用位置return: ret = 1 * 2 * 3 * 4
到达第一层调用位置后,没有上层的递归调用位置,此时函数才会正真返回。
'''

求4的阶乘递归推演

    

1.3 青蛙跳台阶问题

    参考博客:https://cloud.tencent.com/developer/news/44122

  1、二级台阶问题

      问题:一只青蛙一次可以跳上1级台阶,也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法 

#! /usr/bin/env python
# -*- coding: utf-8 -*-
import sys
sys.setrecursionlimit(1000000000) #设置系统最大递归深度 def fib(n):
if n <= 2:
return n
else:
return fib(n-1) + fib(n-2)
print(fib(4)) #

二级台阶(函数递归

#### 1、n=1 时只有一种方法
# f(1) = 1 #### 2、n=2 时当第一次跳一个台阶时,有一种方法,当第一次跳两个台阶时有一种方法
# f(2) = 1+1 = 2 #### 3、n=3 倒推最后一跳跳一步有f(n-1)种方法 最后一跳跳两步f(n-2)
# f(3) = f(2) + f(1) = 3 #### 4、n>2 以此类推
# f(n) = f(n-1)+f(n-2)

二级台阶推演

  2、n级台阶问题

      问题:一只青蛙一次可以跳上1级台阶,也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法

#! /usr/bin/env python
# -*- coding: utf-8 -*-
import sys
sys.setrecursionlimit(1000000000) #设置系统最大递归深度 def fib(n):
if n <= 2:
return n
else:
return 2 * fib(n - 1)
print(fib(4)) #

n级台阶问题(函数递归)

#### 1、n=1 时只有一种方法
# f(1) = 1 #### 2、n=2 时当第一次跳一个台阶时,有一种方法,当第一次跳两个台阶时有一种方法
# f(n) = 1+1 = 2 #### 3、n=3 时当第一次跳一个台阶时有f(3-1)中方法,当第一次跳两个台阶时有f(3-2)中方法,当第一次跳3个台阶时有f(3-3)种跳法
# f(n) = 2+1 = 3 #### 4、n>2 以此类推
# f(n) = f(n-1)+f(n-2)+......f(0) '''
f(n) = f(n-1)+f(n-2)+......f(0)种跳法 f(n-1) = f(n-2)+f(n-3)+.....f(0) f(n)-f(n-1)=f(n-1) 所以f(n) = 2*f(n-1)
'''

n级台阶推演

  3、三级台阶问题

#! /usr/bin/env python
# -*- coding: utf-8 -*-
import sys
sys.setrecursionlimit(1000000000) #设置系统最大递归深度 def fib(n):
if n <= 2:
return n
elif n == 3:
return 4
else:
return fib(n-1) + fib(n-2) + fib(n-3)
print(fib(4)) #

三级台阶问题

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