洛谷 P1115 最大子序和

**原题链接**
##题目描述
  给出一段序列，选出其中连续且非空的一段使得这段和最大。
    **解法**：
      1、暴力枚举 时间：O(n^3)
      2、简单优化 时间：O(n^2)
      3、分治 时间：O(nlogn)
      4、DP 时间：O(n)

分析与代码

  解法1：暴力枚举 时间：O(n^3)

    由题意很容易想到通过枚举子串首尾两端的位置

    确定找出不同的子串，并把确定子串中的数逐一

    相加求和，从中取最大值暴力解决。

代码

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=100010;
int a[N];
int main(){
	int n;
	cin>>n;
	for(int i=0;i<n;i++)cin>>a[i];
	int MaxSum=-(1<<30),ThisSum;
	for(int i=0;i<n;i++){
		for(int j=i;j<n;j++){
			ThisSum=0;
			for(int k=i;k<=j;k++)ThisSum+=a[k];
			MaxSum=max(MaxSum,ThisSum);
		}
	}
	cout<<MaxSum<<endl;
	return 0;
}

  解法2：简单优化 时间：O(n^2)

    简单思考可发现，解法1中做了很多次重复计算，

    如下图：

      

      当子序起始位置不变，末端移动的时候，ThisSum只会依次加上新的一个数。所以，

      只需枚举子串首尾两端的位置，每次子序末端移动的时候，

      新子序和等于ThisSum=ThisSum+a[j]即可。

代码

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1000010;
int a[N];
int main(){
	int n;
	cin>>n;
	for(int i=0;i<n;i++)cin>>a[i];
	int MaxSum=-(1<<30),ThisSum=0;
	for(int i=0;i<n;i++){
		ThisSum=0;
		for(int j=i;j<n;j++){
			ThisSum+=a[j];
			MaxSum=max(MaxSum,ThisSum);
		}
	}
	return 0;
}

  解法3：分治 时间：O(nlogn)

(未完待续......)

  解法4：DP 时间：O(n)

    其实，再深入思考，可以发现当枚举计算ThisSum<0

    的时候，再去子序末端移动过后遇到的无论是正数

    还是负数，当它加上ThisSum时都将小于它本身。所

    以ThisSum<0时,可以看成0从头处理。但还有一种特

    殊情况——原序列全是负数！！！

    由此可以得出以下状态转移方程：

      MaxSum=max( MaxSum , max(ThisSum+a[i],a[i])

    整个过程只需扫一遍数组即可，所以T(n)=O(n)。

代码

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1000010;
int a[N];
int main(){
	int n;
	cin>>n;
	for(int i=0;i<n;i++)cin>>a[i];
	int MaxSum=-(1<<30),ThisSum=0;
	for(int i=0;i<n;i++){
		ThisSum+=a[i];
		MaxSum=max(MaxSum,ThisSum);
		if(ThisSum<0)ThisSum=0;
	}
	cout<<MaxSum<<endl;
	return 0;
}