Description:

给定一个nxm的网格,请计算三点都在格点上的三角形共有多少个。下图为4x4的网格上的一个三角形。

注意三角形的三点不能共线。

Hint:

1<=m,n<=1000

Solution:

直接算三角形肯定算死。

所以,先考虑所有的可能三角形。再减去不合法的三点共线的情况。

所有三角形:C((n+1)*(m+1),3)

不合法的情况怎么处理??

开始的想法:

1.找所有的两端在坐标轴上的直线,算出来整点数:gcd(x,y)+1;再算上下,左右的直线。

但是发现可能有的不合法直线不过边框的整点!!bug

2.考虑直线的方程:ax+by+c=0

a,b,c是常整数。并且都在1~n(m)的范围内。

相当于求x,y的非负整数解的个数。(exgcd)

但是待定系数n^4,枚举系数n^3都不行。bug

正解:

优化一下

发现找直线非常复杂。

如果我们找线段呢?并且保证线段的两端都在整点上?相当于把直线根据整点拆开了

(a,b)(c,d)的线段中间的整点有gcd(abs(c-a),abs(d-b))-1个方案。

枚举线段减去中间放点的方案,这样还是n^4

发现,许多的线段本质上是一致的,只是平移了。

所以,我们只需要枚举所有的(0,0)(x,y),就可以了、。

平移的方案就是(n+1-x)*(m+1-y)相当于画出了一个矩形。

对于不是在坐标轴上的点,我们还要乘2,相当于上下一个对称情况。

Code:

#include<cstdio>
#define LL long long
int gcd[][];
int n,m;
LL t,ans;
inline int getgcd(int a,int b)
{
if (gcd[a][b])return gcd[a][b];
if (!a)return gcd[a][b]=b;
if (!b)return gcd[a][b]=a;
return gcd[a][b]=getgcd(b,a%b);
}
inline void calc()
{
for(int i=;i<=m;i++)gcd[][i]=i;
for(int i=;i<=n;i++)gcd[i][]=i;
for(int i=;i<=n;i++)
for(int j=;j<=m;j++)
getgcd(i,j);
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
calc();
t=(n+)*(m+);
ans=t*(t-)*(t-)/;
for (int i=;i<=n;i++)
for (int j=;j<=m;j++)
if (i||j)
{
if (!i||!j)ans-=(LL)(gcd[i][j]-)*(n-i+)*(m-j+);
else ans-=(LL)*(gcd[i][j]-)*(n-i+)*(m-j+);
}
printf("%lld",ans);
}

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