BZOJ4001[TJOI2015]概率论——卡特兰数

题目描述

输入

输入一个正整数N，代表有根树的结点数

输出

输出这棵树期望的叶子节点数。要求误差小于1e-9

样例输入

1

样例输出

1.000000000

提示

1<=N<=10^9

设$f[n]$表示$n$个节点能形成二叉树的方案数，$g[n]$表示所有方案的叶子数之和

$ans=\frac{g[n]}{f[n]}$，f$[n]$就是卡特兰数(这是卡特兰数的一个应用)

那么$g[n]$怎么求呢？

假设一种$n$节点二叉树有$k$个叶子，那么$g[n]=\sum k$

我们将这$k$个叶子中任意一个点删除都能得到一种形态的$n-1$节点二叉树

那么$g[n]$就是所有$n$节点二叉树删除一个节点能得到的$n-1$节点二叉树的方案数之和

这样还是求不了啊？

我们反过来看，将$g[n]$看成是$n-1$节点二叉树加一个节点能形成$n$节点二叉树的方案数之和

考虑对于一种形态的$n-1$节点二叉树，每个点能向下连出两条边(连向左儿子和右儿子的边)，$n-1$个节点就有$2n-2$条边

因为将这$n-1$个点连成一棵树已经占用了$n-2$条边，所以还有$n$条边的下端是空闲的，在这$n$条边下端任意一个位置加一个点都能形成一种形态的$n$节点二叉树

每种形态$n-1$节点二叉树都能形成$n$种$n$节点二叉树，共$f[n-1]$种形态，因此$g[n]=n*f[n-1]$

$f[n]=C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1}=\frac{(2n)!}{n!(n+1)!}$，$ans=\frac{g[n]}{f[n]}=\frac{n*(n+1)}{2(2n-1)}$

#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<stack>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
int n;
double ans;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    ans=1.0*n*(n+1)/2;
    ans/=(2.0*n-1);
    printf("%.9lf",ans);
}