【xsy2479】counting 生成函数+多项式快速幂

题目大意：在字符集大小为$m$的情况下，有多少种构造长度为$n$的字符串$s$的方案，使得$C(s)=k$。其中$C(s)$表示字符串$s$中出现次数最多的字符的出现次数。

对$998244353$取模，$n,m≤5\times 10^4$

如果你考虑去DP，你就lose了。

令$F(x)$表示满足$C(s)≤x$的方案数。

那么最终的答案显然为$F(k)-F(k-1)$。

这一题有一个非常优美的性质：对于每一种字符，允许的最多出现次数都是$k$。

那么，令$G_k(x)=\sum\limits_{i=0}^{k} \frac{1}{i!}x^i$

则有$F(k)=n![x^n]G_k^m(x)$

证明是显然的

写一个多项式快速幂的板子就过了。

 #include<bits/stdc++.h>
 #define M (1<<17)
 #define L long long
 #define MOD 998244353
 #define G 3
 using namespace std;

 L pow_mod(L x,L k){
     L ans=;
     while(k){
         if(k&) ans=ans*x%MOD;
         x=x*x%MOD; k>>=;
     }
     return ans;
 }

 void change(L a[],int n){
     for(int i=,j=;i<n-;i++){
         if(i<j) swap(a[i],a[j]);
         int k=n>>;
         while(j>=k) j-=k,k>>=;
         j+=k;
     }
 }
 void NTT(L a[],int n,int on){
     change(a,n);
     for(int h=;h<=n;h<<=){
         L wn=pow_mod(G,(MOD-)/h);
         for(int j=;j<n;j+=h){
             L w=;
             for(int k=j;k<j+(h>>);k++){
                 L u=a[k],t=w*a[k+(h>>)]%MOD;
                 a[k]=(u+t)%MOD;
                 a[k+(h>>)]=(u-t+MOD)%MOD;
                 w=w*wn%MOD;
             }
         }
     }
     if(on==-){
         L inv=pow_mod(n,MOD-);
         for(int i=;i<n;i++) a[i]=a[i]*inv%MOD;
         reverse(a+,a+n);
     }
 }

 void getinv(L a[],L b[],int n){
     if(n==){b[]=pow_mod(a[],MOD-); return;}
     static L c[M],d[M];
     memset(c,,n<<); memset(d,,n<<);
     getinv(a,c,n>>);
     for(int i=;i<n;i++) d[i]=a[i];
     NTT(d,n<<,); NTT(c,n<<,);
     for(int i=;i<(n<<);i++) b[i]=(*c[i]-d[i]*c[i]%MOD*c[i]%MOD+MOD)%MOD;
     NTT(b,n<<,-);
     for(int i=;i<n;i++) b[n+i]=;
 }

 void qiudao(L a[],L b[],int n){
     memset(b,,sizeof(b));
     for(int i=;i<n;i++) b[i-]=i*a[i]%MOD;
 }
 void jifen(L a[],L b[],int n){
     memset(b,,sizeof(b));
     for(int i=;i<n;i++) b[i+]=a[i]*pow_mod(i+,MOD-)%MOD;
 }

 void getln(L a[],L b[],int n){
     static L c[M],d[M];
     memset(c,,n<<); memset(d,,n<<);
     qiudao(a,c,n); getinv(a,d,n);
     NTT(c,n<<,); NTT(d,n<<,);
     for(int i=;i<(n<<);i++) c[i]=c[i]*d[i]%MOD;
     NTT(c,n<<,-);
     jifen(c,b,n);
 }

 void getexp(L a[],L b[],int n){
     if(n==){b[]=; return;}
     static L lnb[M]; memset(lnb,,n<<);
     getexp(a,b,n>>); getln(b,lnb,n);
     for(int i=;i<n;i++) lnb[i]=(a[i]-lnb[i]+MOD)%MOD,b[i+n]=;
     lnb[n]=;
     lnb[]=(lnb[]+)%MOD;
     NTT(lnb,n<<,); NTT(b,n<<,);
     for(int i=;i<(n<<);i++) b[i]=b[i]*lnb[i]%MOD;
     NTT(b,n<<,-);
     for(int i=;i<n;i++) b[i+n]=;
 }

 L a[M]={},b[M]={};
 L fac[M]={},invfac[M]={};
 int n,k,m;

 L solve(){
     memset(a,,sizeof(a));
     memset(b,,sizeof(b));
     int nn=; while(nn<=n) nn<<=;
     for(int i=;i<=m;i++) a[i]=invfac[i];
     L hh=a[],invhh=pow_mod(hh,MOD-);
     for(int i=;i<nn;i++) a[i]=a[i]*invhh%MOD;
     getln(a,b,nn);
     for(int i=;i<nn;i++) b[i]=b[i]*k%MOD;
     getexp(b,a,nn);
     hh=pow_mod(hh,k);
     for(int i=;i<nn;i++) a[i]=a[i]*hh%MOD;
     return a[n];
 }

 int main(){
     scanf("%d%d%d",&n,&k,&m);
     fac[]=; for(int i=;i<M;i++) fac[i]=fac[i-]*i%MOD;
     invfac[M-]=pow_mod(fac[M-],MOD-);
     for(int i=M-;~i;i--) invfac[i]=invfac[i+]*(i+)%MOD;
     L res1=solve();
     m--;
     L res2=solve();
     cout<<(res1-res2+MOD)*fac[n]%MOD<<endl;
 }