【JZOJ4710】【NOIP2016提高A组模拟8.17】Value

题目描述

输入

输出

样例输入

5

8 2

10 7

5 1

11 8

13 3

样例输出

27

数据范围

解法

选定一些物品a[1],a[2],a[3]…a[num]，尝试交换a[i],a[j]，那么对答案的贡献是：

-(v[i]-xsum)-(v[j]-w[i]-xsum)+(v[j]-xsum)+(v[i]-w[j]-xsum) (xsum为sigma(w[1..i-1]))；

整理后可得+w[i]-w[j]，所以说如果w[i]>w[j]，那么我们交换a[i],a[j]是对答案有积极贡献的。

所以我们以w为关键字从小到大排序，然后就变成了经典的背包问题。

但是直接套上背包会超时，只可以拿40%的分。

接下来会有两个选择支：

A.优化背包，去除冗余状态

排序后，经典背包是这样的f[j+w[i]]=max{f[j]+v[i]-j}；

如果想让f[j]对f[j+w[i]]做出贡献，那么就必须保证v[i]-j>0，所以所以枚举j时不能超过v[i]。

B.更改动态规划方法（标准解法）

排序后，设f[i][j]表示倒序动态规划到了第i个物品，已经选了j个物品。

那么f[i][j]=max{f[i+1][j],f[i+1][j-1]+v[i]-j*w[i]}

这样就利用了选择一个物品只会对这个物品后的其他物品造成影响的性质。

时间复杂度为O(n^2)。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define sqr(x) ((x)*(x))
#define ln(x,y) int(log(x)/log(y))
using namespace std;
const char* fin="aP2.in";
const char* fout="aP2.out";
const int inf=0x7fffffff;
const int maxn=5007,maxm=100007;
int n,i,j,k,maxa,ans;
struct node{
    int v,w;
}a[maxn];
int f[maxn][maxn];
bool cmp(node a,node b){
    return a.w<b.w;
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for (i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d%d",&a[i].v,&a[i].w);
        maxa=max(maxa,a[i].v);
    }
    sort(a+1,a+n+1,cmp);
    for (i=n;i>0;i--){
        for (j=1;j<=n;j++){
            f[i][j]=max(f[i+1][j],f[i+1][j-1]-a[i].w*(j-1)+a[i].v);
            ans=max(ans,f[i][j]);
        }
    }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

启发

1.尝试优化动态规划的冗余状态，剔除不必要的转移。

2.挖掘题目性质，顺着性质设置状态。