卡特兰数(catalan)总结
卡特兰数的公式
递推公式1:$f(n)=\sum \limits_{i=0}^{n-1}f(i)*f(n-i-1)$
递推公式2:$f(n)=\frac{f(n-1)*(4*n-2)}{n+1}$
组合公式1:$f(n)=\frac{C_{2n}^{n}}{n+1}$
组合公式2:$f(n)=C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1}$
关于卡特兰数的题目
1. 有限制的网格方案数 eg网格
利用组合数的思想:
对于长N宽M的网格(下图2),方案数为 $C_{n+m}^{m}-C_{n+m}^{m-1}$
理解:走到(n,m)这个点总共要走n+m步,其中有m步一定是向上的,所以$C_{n+m}^{m}$这是所有情况
但有不合法的情况,且不合法的一定经过绿线,将原图形沿其翻折,相当于走到c点,此时总n+m步不变,但只有m-1步是向右的
所以$C_{n+m}^{m-1}$是不合法的
(借用kaola学长的图)
对于N×N的网格就是卡特兰数了,如图一
本题先将式子化简,然后将其分解质因数,消去除法,最后乘上每个质数的个数次方就好
- #include<iostream>
- #include<cstdio>
- #include<cstring>
- #include<cmath>
- using namespace std;
- int n,m,num,p[],v[];
- int sum[];
- void prime(int x)
- {
- for(int i=;i<=x;i++)
- {
- if(!v[i]) {v[i]=i;p[++num]=i;}
- for(int j=;j<=num;j++){
- if(p[j]>v[i]||i*p[j]>x) continue;
- v[i*p[j]]=p[j];
- }
- }
- }
- int len=,ans[];
- void mul(int x)
- {
- int k=;
- for(int i=;i<=len;i++)
- {
- ans[i]=ans[i]*x+k;
- k=ans[i]/;
- ans[i]%=;
- if(k>&&i==len) len++;
- }
- }
- int main()
- {
- ans[]=;
- scanf("%d%d",&n,&m);
- prime(n+m+);
- int t=n+-m;
- while(t>)
- {
- sum[v[t]]++;
- t/=v[t];
- }
- for(int i=n+m;i>=n+;i--)
- {
- t=i;
- while(t>)
- {
- sum[v[t]]++;
- t/=v[t];
- }
- }
- for(int i=;i<=m;i++)
- {
- t=i;
- while(t>)
- {
- sum[v[t]]--;
- t/=v[t];
- }
- }
- for(int i=;i<=num;i++)
- for(int j=;j<=sum[p[i]];j++)
- mul(p[i]);
- for(int i=len;i>=;i--)
- printf("%d",ans[i]);
- puts("");
- }
2.有趣的数列
其实这个也可以理解为上一个网格,将偶数位记为向右走一步,奇数位记为向上走一步,,偶数位之和大于奇数位之和,就是不能越过绿线
- #include<iostream>
- #include<cstdio>
- #include<cstring>
- #include<cmath>
- #define ll long long
- using namespace std;
- const int maxn=;
- int n,mod,num;
- ll p[maxn];int v[maxn];
- ll sum[maxn];
- void prime(int x)
- {
- for(int i=;i<=x;i++)
- {
- if(!v[i]) {v[i]=i;p[++num]=i;}
- for(int j=;j<=num;j++){
- if(p[j]>v[i]||i*p[j]>x) break;
- v[i*p[j]]=p[j];
- }
- }
- }
- ll qpow(int a,int b)
- {
- ll ans=;
- while(b)
- {
- if(b&) ans=ans*a%mod;
- a=a*a%mod;
- b>>=;
- }
- return ans%mod;
- }
- int main()
- {
- scanf("%d%d",&n,&mod);
- prime(*n+);
- for(int i=*n;i>=n+;i--)
- {
- int t=i;
- while(t>)
- {
- sum[v[t]]++;
- t/=v[t];
- }
- }
- for(int i=;i<=n;i++)
- {
- int t=i;
- while(t>)
- {
- sum[v[t]]--;
- t/=v[t];
- }
- }
- ll ans=;
- for(int i=;i<=num;i++)
- if(sum[p[i]])
- ans=ans*qpow(p[i],sum[p[i]])%mod;
- printf("%lld\n",ans);
- }
3.树屋阶梯
我们不妨手模样例,若扣去左下角直角所在矩形,
图一和图四的方案数为右面的2块的方案数×上面的0块的方案数,即为$f(3)+=f(2)*f(0)$
同理图二和图五为$f(3)+=f(0)*f(2)$ 图三为$f(3)+=f(1)*f(1)$
由此可得 $f(n)=\sum \limits_{i=0}^{n-1}f(i)*f(n-i-1)$ 卡特兰数公式1
- #include<iostream>
- #include<cstdio>
- #include<cstring>
- #include<cmath>
- using namespace std;
- int n,num,p[],v[];
- int sum[];
- void prime(int x)
- {
- for(int i=;i<=x;i++)
- {
- if(!v[i]) {v[i]=i;p[++num]=i;}
- for(int j=;j<=num;j++){
- if(p[j]>v[i]||i*p[j]>x) break;
- v[i*p[j]]=p[j];
- }
- }
- }
- int len=,ans[];
- void mul(int x)
- {
- int k=;
- for(int i=;i<=len;i++)
- {
- ans[i]=ans[i]*x+k;
- k=ans[i]/;
- ans[i]%=;
- if(k>&&i==len) len++;
- }
- }
- int main()
- {
- ans[]=;
- scanf("%d",&n);
- prime(*n+);
- for(int i=*n;i>=n+;i--)
- {
- int t=i;
- while(t>)
- {
- sum[v[t]]++;
- t/=v[t];
- }
- }
- for(int i=;i<=n;i++)
- {
- int t=i;
- while(t>)
- {
- sum[v[t]]--;
- t/=v[t];
- }
- }
- for(int i=;i<=num;i++)
- for(int j=;j<=sum[p[i]];j++)
- mul(p[i]);
- for(int i=len;i>=;i--)
- printf("%d",ans[i]);
- puts("");
- }
关于卡特兰数的其他应用
1.出栈入栈问题:1,2,~n个数经过一个栈,合法的出栈序列$Cat(n)$
(引用学长的课件)出栈次序是卡特兰数的一个应用。 我们将入栈视为+1,出栈视为-1,则限制条件为在任意位置前缀和不小于0 。 我们讨论这个问题与卡特兰数有什么关系。 为了方便,我们按入栈的先后顺序将各个元素由1到n编号。 假设最后一个出栈的数为k。 则在k入栈之前,比k小的数一定全部出栈,所以这部分方案数为h(k-1)。 在k入栈之后,比k大的数在k入栈之后入栈,在k出栈之前出栈,所以这部分的方案数为h(n-k)。 这两部分互不干扰,则方案数为h(k-1)*h(n-k) 枚举k,得到的公式就是卡特兰数的递推公式。
2.左括号与右括号的匹配问题:n个左括号和n个右括号组成的合法括号序列$Cat(n)$
跟入栈出栈的理解是一样的
3.n个节点构成的二叉树的方案数为$Cat(n)$
假设左子树有$i$个节点,右子树有$n-i-1$个节点,i从0到n-1,根据乘法原理
可得公式1$f(n)=\sum \limits_{i=0}^{n-1}f(i)*f(n-i-1)$
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