CF827D Best Edge Weight 题解

题意：

给定一个点数为 n，边数为 m，权值不超过 \(10^9\) 的带权连通图，没有自环与重边。 现在要求对于每一条边求出，这条边的边权最大为多少时，它还能出现在所有可能的最小生成树上，如果对于任意边权都出现，则输出 \(-1\)。

这里写一个用倍增的\(O(nlogn)\)做法。

先求出一个最小生成树。

1、若x到y在树上，那么对于任意一条非树边\(e(a,b)\)，若满足a到b的树上路径经过\(e(x,y)\)，

那么，根据最小生成树的性质，添加\(e(a,b)\)后生成的环上的最大边必须是唯一的\(e(a,b)\)。

因此，\(e(x,y)\)的权值应当等于所有满足条件的\(e(a,b)\)的最小权值减1。

2、若x到y不在树上，那么，根据最小生成树的性质，添加\(e(x,y)\)后生成的环上的最大边如果不是\(e(x,y)\)，它就能出现。

因此，\(e(x,y)\)的权值应当等于x到y路径上的最大值减1。

2可以使用倍增，\(O(nlogn)\)。

对于1，我们可以把非树边从小到大排序，再依次做链上覆盖，保证每条树边只被其第一次覆盖。

可以把被覆盖的连续边存成一个集合，用并查集维护。

具体来说，并查集的根节点代表此点向上第一个未被覆盖的点（包括自身）。

在这个点被覆盖后，把它与它的父节点的集合合并。

每个点只会被考虑一次，所以复杂度是对的。

总时间复杂度：\(O(nlogn)\)，很好写。

代码：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
struct SBi {
	int x,	y,	z;
	SBi() {}
	SBi(int X, int Y, int Z) {
		x = X; y = Y; z = Z;
	}
};
SBi bi[200010],px[200010];
int cmp(const void * a, const void * b) {
	return ((SBi * ) a) ->z - ((SBi * ) b) ->z;
}
int fu[200010],fr[200010],ne[400010],v[400010],w[400010],bs = 0;
int getv(int x) {
	if (fu[x] == x) return x;
	fu[x] = getv(fu[x]);
	return fu[x];
}
void addb(int a, int b, int c) {
	v[bs] = b;
	w[bs] = c;
	ne[bs] = fr[a];
	fr[a] = bs++;
}
void kru(int n, int m) {
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		fu[i] = i;
		fr[i] = -1;
	}
	qsort(bi, m, sizeof(SBi), cmp);
	for (int i = 0; i < m; i++) {
		int x = getv(bi[i].x),y = getv(bi[i].y);
		if (x == y) continue;
		fu[x] = y;
		addb(bi[i].x, bi[i].y, bi[i].z);
		addb(bi[i].y, bi[i].x, bi[i].z);
	}
}
int fa[200010],sd[200010],fb[200010],fg[200010];
void dfs1(int u, int f) {
	fa[u] = f;sd[u] = sd[f] + 1;
	for (int i = fr[u]; i != -1; i = ne[i]) {
		if (v[i] != f) {
			fb[v[i]] = w[i];
			dfs1(v[i], u);
		}
	}
}
int x[200010],y[200010],z[200010],bz[18][200010],zd[18][200010];
void yucl(int n) {
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		bz[0][i] = fa[i];
		zd[0][i] = fb[i];
	}
	for (int i = 1; i <= 17; i++) {
		for (int x = 1; x <= n; x++) {
			bz[i][x] = bz[i - 1][bz[i - 1][x]];
			zd[i][x] = zd[i - 1][bz[i - 1][x]];
			if (zd[i - 1][x] > zd[i][x]) zd[i][x] = zd[i - 1][x];
		}
	}
}
int getlca(int a, int b) {
	if (sd[a] < sd[b]) {
		int t = a;
		a = b;b = t;
	}
	for (int i = 17; i >= 0; i--) {
		if (sd[bz[i][a]] >= sd[b]) a = bz[i][a];
	}
	if (a == b) return a;
	int rt;
	for (int i = 17; i >= 0; i--) {
		if (bz[i][a] == bz[i][b]) rt = bz[i][a];
		else {
			a = bz[i][a];
			b = bz[i][b];
		}
	}
	return rt;
}
int getmax(int a, int b) {
	int lc = getlca(a, b),ma = -1;
	for (int i = 17; i >= 0; i--) {
		if (sd[bz[i][a]] >= sd[lc]) {
			if (zd[i][a] > ma) ma = zd[i][a];
			a = bz[i][a];
		}
	}
	for (int i = 17; i >= 0; i--) {
		if (sd[bz[i][b]] >= sd[lc]) {
			if (zd[i][b] > ma) ma = zd[i][b];
			b = bz[i][b];
		}
	}
	return ma;
}
void fugai(int a, int b, int c) {
	while (sd[a = getv(a)] > sd[b]) {
		fg[a] = c;
		fu[a] = getv(fa[a]);
	}
}
int main() {
	int n,m,k = 0;
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for (int i = 0; i < m; i++) {
		scanf("%d%d%d", &x[i], &y[i], &z[i]);
		bi[i] = SBi(x[i], y[i], z[i]);
	}
	kru(n, m);dfs1(1, 0);yucl(n);
	for (int i = 1; i <= n; i++) fu[i] = i;
	for (int i = 0; i < m; i++) {
		int a = x[i],b = y[i];
		if (fa[a] != b && fa[b] != a) bi[k++] = SBi(a, b, z[i]);
	}
	qsort(bi, k, sizeof(SBi), cmp);
	for (int i = 0; i < k; i++) {
		int a = bi[i].x,b = bi[i].y,c = bi[i].z;
		int lc = getlca(a, b);
		fugai(a, lc, c);fugai(b, lc, c);
	}
	for (int i = 0; i < m; i++) {
		int a = x[i],b = y[i];
		if (fa[b] == a) {
			a = y[i];
			b = x[i];
		}
		if (fa[a] != b) printf("%d ", getmax(a, b) - 1);
		else printf("%d ", fg[a] - 1);
	}
	return 0;
}