统计学习：EM算法及其在高斯混合模型(GMM)中的应用

1. EM算法的基本思想

我们在应用中所面对的数据有时是缺损的/观测不完全的^[1][2]。我们将数据分为：

• 可观测数据，用\(Y\)表示；
• 缺失数据，用\(Z\)表示;
• 完全数据，用\(X=(Y, Z)\)表示。

我们尝试直接对可观测数据做极大似然估计：

\[L(\theta | Y)=P(Y|\theta)
\]

但是这样的似然函数可能非常复杂。我们发现完全数据的似然，即

\[L(\theta | Y, Z)=P(Y, Z|\theta)
\]

估计的难度要小得多。

除此之外对条件概率分布\(P(Z |Y, \theta)\)进行估计的难度也要小得多。

EM算法的基本思想是通过\(P(Y,Z|\theta)\)和\(P(Z |Y, \theta)\)这两个容易进行估计的分布来估计\(P(Y|\theta)\)。

事实上，在应用中缺失数据\(Z\)常常并不是真实存在，而是人为造出来的（为了方便概率分布的估计）。我们此时将缺失数据\(Z\)称为隐含数据(latent data)。

2. EM算法框架与解释

2.1 算法框架

EM算法不是单指一个算法，而是指一种算法设计思想，它是一类算法的框架。它通过迭代求对数似然函数\(\text{log}L(\theta | Y)=\text{log}P(Y|\theta)\)的极大似然估计。每次迭代包含两步：E步，求期望；M步，求极大化。下面是EM算法的描述:

2.2 算法推导

那为什么EM算法的E步会求 \(\sum_Z \text{log} P(Y,Z|\theta)P(Z | Y, \theta^{(t)})\)这样一个期望呢？

我们知道，可观测数据\(Y\)是给定的，我们原本想对\(\text{log} P(Y |\theta)\)做极大似然估计。而我们可以进一步得到

\[\begin{aligned}
\text{log} P(Y |\theta) &=\text{log}\sum_ZP(Y, Z|\theta)P(Z|\theta) \\
&= \text{log}\sum_Z \frac{P(Y, Z|\theta)}{q(Z)}q(Z)P(Z|\theta)\\
&\geqslant \sum_Z \text{log}[\frac{P(Y, Z|\theta)}{q(Z)}q(Z)] P(Z|\theta)（由\text{log}凹函数和\text{Jensen}不等式)
\end{aligned}
\]

其中\(q(Z)\)为不等于0的关于\(Z\)的某个分布。不等式可以看做是一个找下界的过程。

在我们这个情境下设\(q(Z)=P(Z|Y,\theta^{(t)})\)，就得到了下界为

\[\sum_Z \text{log}[\frac{P(Y, Z|\theta)P(Z|Y, \theta^{(t)})}{P(Z|Y, \theta^{(t)})}]P(Z|\theta)
\]

将\(\text{log}\)函数内的部分展开为

\[\sum_Z \left( \text{log}P(Y, Z|\theta)P(Z|Y, \theta^{(t))})-\text{log}P(Z|Y, \theta^{(t)}) \right) P(Z|\theta)
\]

而\(P(Z|Y, \theta^{(t)})\)相对于\(\theta\)是常数不用管，而前一项\(\sum_Z \text{log} P(Y,Z|\theta)P(Z | Y, \theta^{(t)})\)就是我们的\(Q\)函数。

因此我们可以说\(Q\)函数在每次迭代中去逼近\(\text{log} P(Y |\theta)\)的下界。多次迭代极大化\(Q\)函数就能起到极大化\(\text{log} P(Y |\theta)\)的效果。

EM算法不断逼近函数下界的过程可以形象化解释为下图：

3. EM算法在高斯混合模型(GMM)中的应用

3.1 模型背景

在高斯混合聚类模型中，我们假设\(d\)维样本空间中的观测数据样本点\(\bm{y}\)服从高斯混合分布^[3][4]

\[p(\bm{y}|\bf{\Theta})= \sum_{k=1}^K\alpha_k \phi(\bm{y}|\bm{u}_k, \bf{\Sigma}_k)
\]

其中\(\phi(\bm{y}|\bm{u}_k, \bf{\Sigma}_k)\)为多元高斯分布

\[\phi(\bm{y}|\bm{u}_k, \bf{\Sigma}_k)= \frac{1}{(2\pi)^{\frac{d}{2}}|\bf{\Sigma}|^{\frac{1}{2}}}e^{-\frac{1}{2}(\bm{y}-\bm{u})^T\bf{\Sigma}^{-1}(\bm{y}-\bm{u})}
\]

且有\(\alpha_k > 0\)，\(\sum_{k=1}^K\alpha_k=1\)。

高斯混合分布可以形象化地由下图表示：

我们假设样本的生成过程由高斯混合分布给出：首先，选择高斯混合成分，其中\(\alpha_k\)为选择第\(k\)个混合成分的概率；然后根据选择的混合成分的概率密度函数进行采样，从而生成相应的样本。

3.2 高斯混合聚类算法推导

我们令随机变量\(C_i\in \{1,2,...,K\}\)表示样本\(\bm{y}_i\)的高斯混合成分。而这个\(C_i\)也就对应了我们打算将样本\(\bm{y}_i\)聚为第几类，它的取值就是我们的聚类算法要求的。我们的模型需要按照贝叶斯定理估计\(C_i\)的后验分布

\[\begin{aligned}
p(C_i=k | \bm{y}_i) & =\frac{p(C_i = k)p(\bm{y}_i|C_i = k) }{p(\bm{y}_i |\bf{\Theta})} \\
& = \frac{\alpha_k \phi(\bm{y}|\bm{u}_k, \bf{\Sigma}_k)}{\sum_{k=1}^K\alpha_k \phi(\bm{y}|\bm{u}_k, \bf{\Sigma}_k)}
\end{aligned}
\]

则我们按照以下法则确定样本\(\bm{y}_i\)被划分为的簇标记\(c_i^*\):

\[ c_i^* = \underset{k\in\{1,2...,K\}}{\text{argmax}}p(C_i=k | \bm{y}_i)
\]

我们前面提到按照贝叶斯定理估计概率分布\(p(C_i=k | \bm{y}_i)\)，但我们需要先确定数据生成分布\(p(\bm{y}_i |\bf{\Theta})\)中的参数\(\bf{\Theta} = \{(\alpha_k, \bm{u}_k, \bf{\Sigma}_k)|1\leqslant k \leqslant K\}\)，这时就可以套用我们前面的EM算法了。

我们设\(\bm{y}_i\)为可观测数据，\(\bm{z}_{i}=(z_{i1}, z_{i2},..., z_{iK})^T\)(one-hot向量,表示样本\(i\)的聚类结果)为未观测数据，\(\bm{x}=(\bm{y_i}, \bm{z}_{i})\)为完全数据。

按照EM算法的流程走：

(1) \(\text{E}\)步，即写出\(Q\)函数

\[\begin{aligned}
Q(\bf{\Theta}|\bf{\Theta}^{(t)}) & =\mathbb{E}_\bm{z}[\text{log} \space p(\bm{y},\bm{z}|\bf{\Theta})|\bm{y}, \bf{\Theta}^{(t)}]
\end{aligned}
\]

我么需要先写出完全数据的对数似然函数：

\[\begin{aligned}
\text{log}\space p(\bm{y},\bm{z}|\bf{\Theta}) & = \text{log} \prod_{i=1}^N p(\bm{y}_i, \bm{z}_i | \bf{\Theta}) \\
&= \text{log} \prod_{k=1}^K\prod_{i=1}^N[\alpha_k \phi(\bm{y}_i|\bm{\mu}_k, \bf{\Sigma}_k)]^{z_{ik}} \\
&= \text{log} \left(\prod_k^K \alpha_k^{n_k} \prod_{i=1}^N \phi(\bm{y}_i|\bm{\mu}_k, \bf{\Sigma}_k)^{z_{ik}} \right) \\
& = \sum_{k=1}^K \left(n_k\text{log}\alpha_k + \sum_{i=1}^Nz_{ik} \text{log} \phi(\bm{y}_i|\bm{\mu}_k, \bf{\Sigma}_k)\right)
\end{aligned}
\]

然后按照Q函数的定义求条件期望得：

\[\begin{aligned}
Q(\bf{\Theta}|\bf{\Theta}^{(t)}) & =\mathbb{E}_\bm{z}\left[\sum_{k=1}^K \left( n_k\text{log}\alpha_k + \sum_{i=1}^Nz_{ik} \text{log} \phi(\bm{y}_i|\bm{\mu}_k, \bf{\Sigma}_k)\right)|\bm{y}, \bf{\Theta}^{(t)}\right] \\
& = \sum_{k=1}^K \left( \sum_{i=1}^N\mathbb{E}(z_{ik}|\bm{y}, \bf{\Theta}^{(t)})\text{log}\alpha_k + \sum_{i=1}^N\mathbb{E}(z_{ik}|\bm{y}, \bf{\Theta}^{(t)})\text{log}\phi(\bm{y}_i|\bm{\mu}_k, \bf{\Sigma}_k)\right)
\end{aligned}
\]

这里\(\mathbb{E}(z_{ik}|\bm{y}, \bf{\Theta}^{(t)})\)就等于我们前面用贝叶斯定理求的 \(p(C_i=k | \bm{y}_i)\)，我们将其简写为\(\hat{z}_{ik}\)。进一步将\(Q\)

函数写为：

\[Q(\bf{\Theta}|\bf{\Theta}^{(t)}) = \sum_{k=1}^K \left[ \sum_{i=1}^N\hat{z}_{ik} \text{log}\alpha_k + \sum_{i=1}^N\hat{z}_{ik} \left(\text{log}(\frac{1}{(2\pi)^{\frac{d}{2}}})-\text{log}|\bf{\Sigma_k}|^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}(\bm{y}_i - \bm{\mu}_k)^T\bf{\Sigma}_k(\bm{y}_i-\bm{\mu}_k)\right)\right]
\]

(2) \(\text{M}\)步，求极大化\(Q\)函数的新一轮迭代参数

我们只需将上式分别对\(\bm{\mu}_k\)、\(\bf{\Sigma_k}\), \(\alpha_k\)(满足\(\sum_{k=1}^K\alpha_k = 1\))求偏导并令其等于0，可得到：

\[\begin{aligned}
\bm{\mu}_k^{(t+1)} &=\frac{\sum_{i=1}^N\hat{z}_{ik}\bm{y}_i}{\sum_{i=1}^N\hat{z}_{ik}} \\
\bf{\Sigma}_k^{(t+1)} &=\frac{\sum_{i=1}^N\hat{z}_{ik}(\bm{y}_i - \bm{\mu}_k)(\bm{y}_i - \bm{\mu}_k)^T}{\sum_{i=1}^N\hat{z}_{ik}} \\
\alpha^{(t+1)}_k &= \frac{\sum_{i=1}^N\hat{z}_{ik}}{N}
\end{aligned}
\]

3.3 高斯混合聚类算法描述

算法描述如下所示：

引用

• [1] 李航. 统计学习方法(第2版)[M]. 清华大学出版社, 2019.
• [2] 周志华. 机器学习[M]. 清华大学出版社, 2016.
• [3] Calder K. Statistical inference[J]. New York: Holt, 1953.
• [4] 张志华《统计机器学习》在线视频36-EM算法1: https://www.bilibili.com/video/BV1rW411N7tD?p=36