17965 幸运之星（优先做） 约瑟夫环问题O(n)

17965 幸运之星（优先做）

时间限制:100MS  内存限制:65535K
提交次数:0 通过次数:0

题型: 编程题   语言: G++;GCC;VC

Description

每年新年派对的最后一个节目就是选出下年的“幸运之星”，有丰厚的大礼包的噢~~。  O(∩_∩)O

所以每位参加派对的人士都摩拳擦掌跃跃欲试。选择的办法是这样约定的：

（1）所有参与的人员数n，让n个人一字排开，然后至左向右从1开始报数，凡报到奇数号的全部后退剔除，剩下的人员，

又至左向右报数，逢奇剔除，如此不断的递归下去，直至只有一个人为止，这个人就是“幸运之星”。

（2）所有参与的人员数n，先随机抽取一个m值（从黑暗小箱中随机摸一个，m可能比n小或相等，也可能大于n），所有

参与的人员列成环形，然后从位置1开始报数，凡报到m的倍数的人后退剔除，剩下的人员，从刚才位置继续报数，逢m的

倍数的人剔除，如此不断的递归下去，直至只有一个人为止，这个人就是“幸运之星”。 如：n=8,m=4，如下图所示，幸

运之星为6号。

现在，请你分析上面两种节目方式，若想获得幸运大礼包，应该选哪个初始编号的位置来站？

注意此题设置的时限很短，也就不建议你采用队列或循环列表去模拟这个剔除的过程而得到最后的解答。这里，我们更应

该分析一下，这个问题的递归思路。有了分析的递归公式，就可以在很短时间内完成“幸运之星”的计算。

输入格式

输入：n和m（m只和第二个问题有关，与第一个问题无关）。

n和m的范围：n,m
<1000000。

输出格式

输出：幸运之星游戏未开始剔除之前的最初的编号。（1）题和（2）题的解，中间空格相连。

输入样例

8 4

输出样例

8 6

提示

此题不要用递归来写，因为n,m <1000000，递归深度若和n有关的话，这么深的递归是无法执行的，递归栈要爆了。

因此，第（1）问和第（2）问都尽量避免用递归过程，而要想方设法推导出“递推公式”，由递推公式直接计算得到。

（1）我们把“幸运之星”的初始编号定为J(n)。我们初写如下几个J(n)：

n      1   
2    3    4   
5    6   
7    8    9   
10  …

------------------------------------------------------------

J(n)   1   
2    2    4   
4    4    4   
8    8     8  …

把n分奇偶来讨论：即n=2k时的J(2k)和n=2k+1的J(2k+1)来探讨。

1）当n=2k时，所有奇数都删去，剩下的偶数 2 4 … 2k又重新形成和之前类似的一字型排开队列，

只是编号加倍。所以J(2k)=2J(k)；

2）当n=2k+1时，所有的奇数都删去了，剩下的偶数和上面是相同的：2 4 … 2k，也只是编号加倍。

所以J(2k+1)=2J(k)；

3）当n=1时，J(1)=1。

递归关系清晰，这个递归式是非常有效的，因为每次应用此递归式时，n都可以大致减半，大约递

归19次，就能计算到J(1 000 000)了，现在你可以编程实现了吧。

这个问题是寻找“幸运之星”编号，如果你很想中奖，那脑子就得快速计算最有利的位置，所以还希望找

出J(n)的一般闭形式，毕竟没有太多时间递归计算。把n表示成 n = 2^p + q，其中2^p是指不超过n

的2的最大幂，q是余量。递归式的闭形式解：J(n) = J(2^p + q) = 2^p    J(1)=1。

（2）这里的m指的是：逢m的倍数的人剔除。且参与人员是环形的。我们把“幸运之星”的初始编号定为J(n)，

题目上的图的例子就是m=4，J(8)=6。我们需要考虑，某个人剔除前和剔除后的编号对应关系。

如题中图（n=8,m=4）为例说明：在图（a）中，第一个人n4剔除，那n5即视为1，重新开始n-1个人的幸

运之星游戏。更一般的，由于第一个人编号是从1开始而非0开始，所以第一个剔除的人编号为 (m-1)%n+1，

剩下n-1个人重新组成一个环形，只是这时候从m%n+1开始。 在 (m-1)%n+1被剔除前和剔除后，其余人的

编号形成这样的映射：

剔除前编号      剔除了(m-1)%n+1   剔除后编号

(m)%n+1               ---               1

(m+1)%n+1             ---               2

...                                ...

(m-3)%n+1             ---              n-2

(m-2)%n+1             ---              n-1

也可以反过来说，这里n-1长环的元素编号和n长环的元素编号之间的映射关系是：

Index(n)
= (Index(n-1)+m-1)%n + 1

继续下一步剔除，将变成n-2长的环，他们之间的关系则是Index(n-1) =
(Index(n-2)+m-1)%(n-1) + 1。 ……。

一直剔除下去，最后肯定是只有一个元素（这就是“幸运之星”），这个元素对应编号为1，也就是Index(1) =1。

那它的上一级环2个元素的编号是多少呢？按前面公式倒推回去，Index(2) =
(Index(1)+m-1)%2 + 1，对应3个元

素、4个元素的编号呢？一路倒推下去，就可以得到n个元素环的编号了，这个递推关系就是：

Index(n)
= (Index(n-1)+m-1)%n + 1       
Index(1)=1。

总结递归公式，我们把“幸运之星”的初始编号定为J(n)，也就是上面分析的Index(n)：

1）当n=1时，J(1) = 1；

2）当n>1时，J(n) = (J(n-1)+m-1)%n + 1。

作者

zhengchan

设下标的编号从1开始

对于第一问，一开始我是找规律的，感觉太渣渣了，正解真的很优美。

设F(n)表示长度为n的序列，的答案是什么。

考虑n是偶数，那么就是1、2、3、4、5、6、7、8.....2k

第一步，就抽取了成为2、4、6、8.....2k

就是长度是n/2的子问题，明显可以递归求解，但是下标不同，不过可以提取2这个公因子，所以F(n) = 2 * F(n / 2)

考虑n是奇数，1、2、3、4、5、6、7、8.....2k+1

然后最后一个奇数会剔除的，就也是变成了2、4、6、8.....2k的子问题，所以F(n) = 2 * F(n / 2)

对于第二问，

设F（n）表示长度为n的序列，每次报号是m的时候要剔除的时候的最优位置是哪一个。

然后，第一次很容易求解出来，要删除的就是 (m - 1) % n + 1 -----------下标为1的模%法

然后就变成了m%n+1对应报号1， (m+1)%n+1对应报号2， ..... (m + n - 2)%n + 1对应报号n - 1的，长度是n-1的子问题。

关键是她们的长度可以递归，但是id不同，

因为我们设了F(n)是求解长度是n的时候的最优位置，那么把右边映射回来左边也不是难事。

F(1) = 1

F(n) = (m - 1 + F(n - 1)) % n + 1

#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#define IOS ios::sync_with_stdio(false)
using namespace std;
#define inf (0x3f3f3f3f)
typedef long long int LL;
int n, m;
int dp[];
void work() {
    int ans1, ans2;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = ; i >= ; --i) {
        if (( << i) <= n) {
            ans1 =  << i;
            break;
        }
    }
    dp[] = ;
    for (int i = ; i <= n; ++i) {
        dp[i] = (m + dp[i - ] - ) % i + ;
//        printf("%d\n", dp[i]);
    }
    printf("%d %d\n", ans1, dp[n]);
}

int main() {
#ifdef local
    freopen("data.txt", "r", stdin);
//    freopen("data.txt", "w", stdout);
#endif
    work();
    return ;
}