Codeforces 1142D(dp)
先给出设计dp的结论:
dp[i][j]:以第i个位置、以rankj的数拓展出去的方案数。意会一下,我实在想不好语言……
其中所谓rankj=真·rank%11
找到拓展的规律,转移也就顺理成章了。不妨先看1~9拓展到的二位数里有哪些是合法拓展:
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再拓展到三位数找找规律:
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可以看出能够拓展的个数也是按照%11的规则循环的,所以我们要在rank之间做转移(以下说rank都是%11以后的rank,不%11的话状态太多)
规律:
1.当前rank转移过去的数字,个位数字一定小于rank2.如果我们每11个合法数分为一组,则这11个数将拓展出新的55个数(注意这是会%11 = 0的),也就意味着$$0\ 1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6\ 7\ 8\ 9\ 10\ $$$$20\ 21\ 30\ 31\ 32\ 40\ 41\ 42\ 43\ 50\ 51$$$$……$$每11个数会拓展出55个新数(反正0也不贡献,可加)。
现在举例:$$51排名j为10;$$$$51拓展出的\rightarrow510的排名j'将为10$$怎么算的呢?更普遍化地来说,当前数字排名为j时,假如它向后拓展一位,然后个位数字为d,则新数字排名为$$(\frac{j(j-1)}{2}+(d+1)+(10-1))\ %\ 11$$这样理解,比如51要拓展到512,$$\frac{109}{2}是20~50拓展出的三位数个数$$$$d+1=2+1是510~512$$$$10-1是1~9的rank加上去$$
对于第一条,发现0~10拓展出55个数(我们一开始就列了),所以0~10拓展出的数目%11后为0并不影响rank。所以只计算20~50的即可。其他也是同理,因为我们是11个一组的;
第二条不解释;
对于第三条,我们只加了0~10拓展的数为开始的,却没加1~10(这时就别算0了),然后为啥-1呢?因为0~10拓展的数里本来就有个10了,10算了两遍。也就相当于把1~9加上。
懂了以上式子以后就可以直接看代码了:
#include <cstdio>
#include <cstring>
const int maxn = 1e5 + 5;
char S[maxn];
__int64_t ans, dp[maxn][15];//以第i个位置、以rankj的数拓展出去的方案数
int main() {
scanf("%s", S + 1);
int len = strlen(S + 1);
for (int i = len; i; --i) {
int d = S[i] - '0';
for (int j = 0; j <= 10; ++j) {
dp[i][j] = 1;//自己独立成一个方案
if (i < len) {
int t = S[i + 1] - '0';
if (j > t) {//与后面联合,当前rank只会转移到更小的数字
dp[i][j] += dp[i + 1][(j * (j - 1) / 2 + t + 10) % 11];//事实上只有两位数的转移也可以直接打表
}
}
}
if (d) ans += dp[i][d];//题目限制从1~9为起点
}
printf("%lld\n", ans);
return 0;
}
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