Jordan 标准型的推论

将学习到什么

从 Jordan 标准型出发，能够获得非常有用的信息.
 

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Jordan 矩阵的构造

Jordan 矩阵
\begin{align}
J=\begin{bmatrix} J_{n_1}(\lambda_1) & & \\ & \ddots & \\ && J_{n_k}(\lambda_k) \end{bmatrix} , \quad n_1+n_2+\cdots+n_k = n
\end{align}
有确定的构造，这种构造使得与之相似的任何矩阵都显然具有某些基本性质：

• Jordan 块的个数 \(k\) （计入同样的 Jordan 块出现的次数）就是 \(J\) 的线性无关的特征向量的最大个数
• 矩阵 \(J\) 可以对角化，当且仅当 \(k=n\), 即当且仅当所有的 Jordan 块都是 \(1\times 1\) 的
• 与一个给定的特征值对应的 Jordan 块的个数就是该特征值的几何重数，它也就是其相伴的特征空间的维数. 与一个给定的特征值对应的所有 Jordan 块的阶之和就是它的代数重数
• 设 \(A\in M_n\) 是一个给定的非零矩阵，假设 \(\lambda\) 是 \(A\) 的一个特征值. 利用Jordan 标准型定理中式 (8) 的定义，我们知道存在某个正整数 \(q\) ，使得
  \begin{align}
  r_1(A,\lambda) > r_2(A,\lambda) >\cdots >r_{q-1}(A,\lambda) >r_q(A,\lambda)=r_{q+1}(A,\lambda)
  \end{align}
  这个整数 \(q\) 就是 \(\lambda\) 作为 \(A\) 的特征值的指数；它也是 \(A\) 的以 \(\lambda\) 为特征值的最大 Jordan 块的阶.

 

矩阵与其转置的相似性

设 \(K_m\) 是 \(m\times m\) 反序矩阵（就是把单位矩阵 \(I_m\) 旋转 \(90^{\circ}\)）, 它是对称的且是对合(\(A^2=I\))的：\(K_m=K_m^T=K_m^{-1}\).
可以验证 \(K_m J_m(\lambda)=J_m(\lambda)^T K_m\) 以及 \(J_m(\lambda) K_m=K_m J_m(\lambda)^T\), 从而 \(K_m J_m(\lambda)\) 与 \(J_m(\lambda) K_m\) 是对称的，且 \(J_m(\lambda)=K_m J_m(\lambda)^T K_m\)，所以每一个 Jordan 块都相似于它的转置（通过一个反序矩阵）. 这样一来，如果 \(J\) 是给定的 Jordan 矩阵，那么 \(J^T\) 与 \(J\) 通过对称的对合矩阵 \(K=K_{n_1}\oplus \cdots \oplus K_{n_k}\) 而相似：\(J^T=KJK\). 如果 \(S\in M_n\) 是非奇异的（不一定对称）且 \(A=SJS^{-1}\), 那么 \(J=S^{-1}AS\),
\begin{align}
A^T &=S^{-T}J^TS^T=S^{-T}KJKS^T=S^{-T}K(S^{-1}AS)KS^T \notag \\
&= (S^{-T}KS^{-1})A(SKS^T)=(SKS^T)^{-1}A(SKS^T)
\end{align}
且使得 \(A\) 与 \(A^T\) 之间的相似矩阵 \(SKS^T\) 是对称的. 这就证明了如下定理：
 
  定理 1： 设 \(A\in M_n\). 则存在一个非奇异的复对称矩阵 \(S\), 使得 \(A^T=SAS^{-1}\).
 
若记
\begin{align}
A=SJS^{-1}=(SKS^T)(S^{-T}KJS^{-1})=(SJKS^T)(S^{-T}KS^{-1})
\end{align}
其中 \(KJ\) 与 \(JK\) 是对称的, 等式是凑的，拆开一合并就成立了. 这一结论证明了如下的定理：
 
  定理 2： 每一个复方阵都是两个复对称矩阵的乘积，可以选择其中任一个因子是非奇异的.
 
对任意的域 \(\mathbf{F}\)，已知 \(M_n({\mathbf{F}})\) 中的每个矩阵都可以通过 \(M_n({\mathbf{F}})\) 中某个对称矩阵相似于它的转置. 特别地，每一个实方阵都可以通过某个实对称矩阵与其转置相似.
 

几何重数-代数重数不等式

给定 \(A\in M_n\) 的一个特征值 \(\lambda\) 的几何重数是 \(A\) 的与 \(\lambda\) 对应的 Jordan 块的个数. 这个数小于或者等于与 \(\lambda\) 对应的所有 Jordan 块的阶之和，而这个和就是 \(\lambda\) 的代数重数. 于是，特征值的几何重数小于或者等于它的代数重数. 一个特征值 \(\lambda\) 的几何重数与代数重数相等，即 \(\lambda\) 是一个半单的特征值，当且仅当与 \(\lambda\) 对应的每一个 Jordan 块都是 \(1\times 1\) 的.
 

直和的 Jordan 标准型

设对 \(i=1,\cdots,m\) 给定 \(A_i\in M_{n_i}\), 并假设每一个 \(A_i=S_iJ_iS_i^{-1}\), 其中每一个 \(J_i\) 是一个 Jordan 矩阵. 这样，直和 \(A=A_1 \oplus \cdots \oplus A_m\) 就通过 \(S=S_1 \oplus \cdots \oplus S_m\) 相似于直和 \(J=J_1 \oplus \cdots \oplus J_m\). 此外， \(J\) 是 Jordan 块的直和的直和，所以它是一个 Jordan 矩阵，从而 Jordan 标准型的唯一性就保证了它是 \(A\) 的 Jordan 标准型.
 

秩 1 摄动的 Jordan 标准型

关于秩 1 摄动的特征值的 Brauer 定理对于 Jordan 块有类似的结论：在某种条件下，复方阵的一个特征值可能通过一个秩 1 摄动几乎任意地加以变动而不破坏该矩阵的 Jordan 结构的其余部分.
 
  定理 3：设 \(n \geqslant 2\), 又令 \(\lambda,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\) 是 \(A\in M_n\) 的特征值. 假设存在非零的向量 \(x,y \in \mathbb{C}^n\), 使得 \(Ax=\lambda x\), \(y^*A=\lambda y^*\), 且 \(y^*x \neq 0\). 那么
  (a) 对某些正整数 \(k,n_1,\cdots,n_k\) 以及某个 \(\{v_1,\cdots,v_k\} \subset \{\lambda_2,\cdots,\lambda_n\}\), \(A\) 的 Jordan 标准型是
\begin{align}
[\lambda]\oplus J_{n_1}(v_1) \oplus \cdots \oplus J_{n_k}(v_k)
\end{align}
  (b) 对任何满足 \(\lambda+v^*x \neq \lambda_j(j=2,\cdots,n)\) 的 \(v \in \mathbb{C}^n\), \(A+xv^*\) 的 Jordan 标准型是
\begin{align}
[\lambda+v^*x]\oplus J_{n_1}(v_1) \oplus \cdots \oplus J_{n_k}(v_k)
\end{align}