P1912 [NOI2009]诗人小G[决策单调性优化]

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n个数划分若干段，给定$L$,$p$，每段代价为$|sum_i-sum_j-1-L|^p$，求总代价最小。

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正常的dp决策单调性优化题目。不知道为什么luogu给了个黑题难度。$f[i]$表示最小代价。然后有个正常的dp方程。

$f[i]=min \{ f[j]+|sum_i-sum_j-1-L|^p \} $

然后观察发现带高次项，不好斜率优化或单调队列，考虑有没有决策单调性。本来是可以打表证明的，然后拍一下。然而我杠一波瞎证了一下单调性。

$证明：$

$已知f[j]+|sum_i-sum_j-1-L|^p < f[j']+|sum_i-sum_{j'}-1-L|^p$

$要证f[j]+|sum_i-sum_j-L|^p < f[j']+|sum_i-sum_{j'}-L|^p     (j'<j)(就是i加了1)$

$即证|sum_i-sum_{j'}-1-L|^p+|sum_i-sum_j-L|^p < |sum_i-sum_j-1-L|^p+|sum_i-sum_{j'}-L|^p$

$即|sum_i-sum_{j'}-1-L|^p-|sum_i-sum_{j'}-L|^p < |sum_i-sum_j-1-L|^p-|sum_i-sum_j-L|^p$

$然后把其看成关于j的函数，或者就把S_i-S_j-L看成x简便一些，j增大，S_j增大，x总的减小。下面看单调性。可能证的不太严谨，有问题还望指教。$

$f(x)=|x-1|^p-|x|^p  (p为大于2正整数)$

$①p为偶数,则f(x)=(x-1)^p-x^p$

$f'(x)=p(x-1)^{p-1}-px^{p-1}$

$x>=1时显然小于0，此段单调减$

$0<=x<1时p(x-1)^{p-1}<px^{p-1}即p(x-1)^{p-1}-px^{p-1}<0，此段单调减$

$x<0时也有上述关系。$

$又因为x∈R内函数值是连续（就是几个转折点值在左右边两个范围内算出来的f都一样的）的，所以整个是一直单调减的。$

$②p为奇数,p-1为偶,则$

$x>=1时f'(x)=p(x-1)^{p-1}-px^{p-1}<0单调减$

$0<=x<1时f(x)=(1-x)^p-x^p,则f'(x)=-p(x-1)^{p-1}-px^{p-1}<0因为偶数次方必定大于0嘛$

$x<0$时$f(x)=(1-x)^p+x^p，f'(x)=-p(x-1)^{p-1}+px^{p-1}$

$∵x-1<x<0$

$∴(x-1)^{p-1}>x^{p-1}$

$∴f'(x)=-p(x-1)^{p-1}+px^{p-1}<0$

$综上，p为奇或偶都有导数小于0，f随x单调减，j增大，S_j增大,x减小，f必然增大，则原不等式得证。$

$所以满足决策单调性。$

$证毕。$

好像有漏洞？算了不管了。

然后随便写写模板就行啦。

注意一下要用long double精度/范围大，不然long long会爆。注意反而不要考虑会不会爆，考虑你就错了。具体见calc函数。

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错误×1：怕calc爆掉，加了特判，忽视了因此会导致的队列弹出时会提前结束。

中二气息的结构体不用管。。

 #include<bits/stdc++.h>
 #define dbg(x) cerr<<#x<<"="<<x<<endl
 using namespace std;
 typedef long double ll;
 typedef double db;
 template<typename T>inline char MIN(T&A,T B){return A>B?A=B,:;}
 template<typename T>inline char MAX(T&A,T B){return A<B?A=B,:;}
 template<typename T>inline T _min(T A,T B){return A<B?A:B;}
 template<typename T>inline T _max(T A,T B){return A>B?A:B;}
 template<typename T>inline T read(T&x){
     x=;int f=;char c;while(!isdigit(c=getchar()))if(c=='-')f=;
     while(isdigit(c))x=x*+(c&),c=getchar();return f?x=-x:x;
 }
 inline ll fpow(ll x,int p){ll ret=;for(;p;p>>=,x=x*x)if(p&)ret=ret*x;return ret;}//快速幂都不会写了。。
 inline int Abs(int x){return x>?x:-x;}
 const int N=+;ll INF=1e18;
 struct izayoi_sakuya{
     int l,r,pos;
     izayoi_sakuya(int l0=,int r0=,int pos0=):l(l0),r(r0),pos(pos0){}
 }q[N];
 char s[N][];
 ll f[N],lim;
 int sum[N],pre[N];
 int T,L,p,n,l,r;
 inline ll calc(int j,int i){return f[j]+fpow(Abs(sum[i]-sum[j]--L),p);}
 /*这是原来的
 inline ll calc(int j,int i){
     ll x=Abs(sum[i]-sum[j]-1-L);
     if(x>lim)return INF+1;
     ll po=fpow(x,p);
     if(f[j]>(ll)1e18-po)return INF+1;
     return f[j]+po;
 }
 */
 inline int find_pos(int L,int R,int j,int i){
     int mid;
     while(L<R){
         mid=L+R>>;
         if(calc(j,mid)>=calc(i,mid))R=mid;
         else L=mid+;
     }
     return R;
 }
 inline void dp(){
     q[l=r=]=izayoi_sakuya(,n,);
     for(register int i=;i<=n;++i){
         f[i]=calc(q[l].pos,i);pre[i]=q[l].pos;//dbg(i),dbg(f[i]),dbg(sum[i]);
         if(i==q[l].r)++l;else ++q[l].l;
         if(f[i]>INF)continue;
         while(l<=r&&calc(q[r].pos,q[r].l)>=calc(i,q[r].l))--r;
         if(r<l)q[r=l]=izayoi_sakuya(i+,n,i);
         else{
             int k;if(calc(q[r].pos,q[r].r)<=calc(i,q[r].r))k=q[r].r+;
             else k=find_pos(q[r].l,q[r].r,q[r].pos,i);//dbg(i),dbg(k);
             if(k<=n)q[r].r=k-,q[++r]=izayoi_sakuya(k,n,i);
         }
     }
 }
 inline void print(int x,int y){
     if(x)print(pre[x],x);
     for(register int i=x+;i<=y;++i)printf("%s",s[i]),i==y?putchar('\n'):putchar(' ');
 }

 int main(){//freopen("test.in","r",stdin);freopen("tmp.out","w",stdout);
     read(T);while(T--){
         read(n),read(L),read(p);lim=(ll)ceil(pow(1e18,1.0/(db)p));
         for(register int i=;i<=n;++i)scanf("%s",s[i]),sum[i]=sum[i-]+strlen(s[i])+;
         dp();if(f[n]>INF)printf("Too hard to arrange\n");
         else printf("%lld\n",(long long)f[n]),print(pre[n],n);
         printf("--------------------\n");
     }
     return ;
 }