MT【329】二次函数系数的最大最小

已知二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$有零点,且$a+b+c=1$ 若$t=\min\{a,b,c\}$求$t$的最大值.

分析:由$a,c$的对称性,不妨$c\ge a$即$2a+b\le1$则$t=\min\{a,b\}$.
由$b^2\ge4ac$得$(2a+b)^2\ge4a $,由于求$t$的最大值,只需考虑$a,b>0$(不然则$t=\min\{a,b\}\le0$)
此时由$(2a+b)^2\ge4a $得$1\ge4t$故$t\le\dfrac{1}{4},$当$a=\dfrac{1}{4},b=\dfrac{1}{2},c=\dfrac{1}{4}$时取到最值.
另外证明:不妨$a,b,c>0$注意到$\dfrac{a+b+c}{4}\ge\sqrt[4]{a(\frac{b}{2})^2c}\ge \sqrt[4]{a^2c^2}\ge\min\{a,b,c\}$
故$t\le1$
练习:
已知二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$有零点,且$a+b+c=1$ 若$t=\max\{a,b,c\}$求$t$的最小值.
答案:$\dfrac{4}{9}$