3D数学读书笔记——四元数

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什么是四元数

复数是由实数加上虚数单位 i 组成，当中

i²  = -1

相似地，四元数都是由实数加上三个元素 i、j、k 组成，并且它们有例如以下的关系：

i² = j² = k² = ijk = -1

每一个四元数都是 1、i、j 和 k 的线性组合，即是四元数一般可表示为a + bi + cj + dk。

关于四元数的历史

四元数是由哈密顿在1843年爱尔兰发现的。当时他正研究扩展复数到更高的维次（复数可视为平面上的点）。他不能做到三维空间的样例，但四维则造出四元数。依据哈密顿记述，他于10月16日跟他的妻子在都柏林的皇家运河（Royal
Canal）上散步时突然想到

                                                             i² = j² = k² = ijk = -1

的方程解。之后哈密顿立马将此方程刻在附近布鲁穆桥（Brougham Bridge，现称为金雀花桥 Broom Bridge）。

不仅仅如此，哈密顿还创造了向量的内外积（大神就是大神，创造力旺盛啊-_-!）。他亦把四元数描绘成一个有序的四重实数：一个标量（a）和向量（bi + cj + dk）的组合。若两个标量部为零的四元数相乘，所得的标量部便是原来的两个向量部的标量积的负值，而向量部则为向量积的值，但它们的重要性仍有待发掘。

                           

四元数的记法

一个四元数包括一个标量分量和一个3D向量分量。常常记标量分量为w，记向量分量为单一的v或分开的x，y，z。两种记法分别例如以下：

[w,v]

[w,(x,y,z)]

四元数的性质(当年计算机图形学考的就是这题。。呜呜呜~~)

四元数不像实数或复数那样，它的乘法是不可交换的，比如

i j = k, ， j i = -k ;

j k = i  ， k j = -i ;

k i = j  ， i k = -j .

四元数是除法环的一个样例。除了没有乘法的交换律外，除法环与域是相类的。特别地，乘法的结合律仍旧存在、非零元素仍有唯一的逆元素。

负四元数

四元数能求负。做法非常直接：将每一个分量都变负。

-q = - [ w ( x y z ) ] = [ -w ( -x -y -z ) ]

     = - [ w v ] = [ -w -v ]

ps：q 和 - q代表的实际角位移是同样的，因此，3D中的随意角位移都有两中不同的四元数表示方法，它们互相为负。(由于绕某个轴旋转360°物体相当于没有旋转)

单位四元数

几何上，存在两个单位四元数，它们代表没有角位移：[ 1, 0 ] 和 [ -1, 0 ]

数学上，实际仅仅有一个单位四元数 [ 1 , 0 ] 用随意四元数q乘以单位四元数，结果仍是q。数学上觉得[ -1 , 0]不是正在的单位四元数。

四元数的模、共轭和逆

四元数的模的记法和求法公式：

四元数的共轭记作 q*
，可通过让四元数的向量部分变负来获得。

四元数的逆记作，定义为四元数的共轭除以它的模。

   

四元数的乘法(叉乘)

四元数叉乘满足结合律，但不满足交换律。

(ab)c=a(bc)

ab≠ba

四元数乘积的模等于模的积

||pq|| = ||p|| ||q||

四元数的“差”

四元数的“差”被定义为一个方位到还有一个方位的角位移。换句话说，给定方位a和b，就能计算a旋转到b的角位移d。

四元数点乘

对于单位四元数a和b，有-1 ≤ a·b ≤ 1。通常我们仅仅关心a·b的绝对值，由于a·b=-(a·-b)，所以b和-b代表同样的角位移。

四元数点乘的几何解释类似于向量点乘的几何解释。四元数点乘a·b的绝对值越大，a和b代表的角位移越相似。

四元数的对数、指数和标量乘运算

四元数求幂

对四元数求幂在3D编程中很实用，由于它能够从角位移中抽取一部分，比如四元数q代表一个角位移，如今想得到代表1/3这个角位移的四元数，能够计算q^1/3

四元数数幂的求法

在实际3D转换中我们使用这个的代码进行抽取角位移的部分

// 四元数（输入、输出）
float w,x,y,z;
// 指数（输入）
float zhishu;
// 为了避免除零，我们这里做一个推断，由于第一个变量时cos，所以这里是.9999f
if (fabs(w) < .9999f) {
// 提取半角alpha
float alpha = acos(w);
// 计算新的alpha
float newAlpha = alpha * exponent;
// 计算新的w值
w = cos(newAlpha);
// 计算新的xyz的值
float temp = sin(newAlpha) / sin(alpha);
x *= temp;
y *= temp;
z *= temp;
}

使用程序前应先进行单位四元数的检查，由于w=±1会导致temp的计算中出现除零的现象，假设检測出是单位四元数，直接返回原四元数就可以。

四元数插值

当今3D数学中四元数存在的理由是由于一种叫做slerp的运算，它是球面线性插值的缩写(Spherical Linear Interpolation)。slerp运算很实用，由于它能够在两个四元数间平滑插值。slerp运算避免了欧拉角插值的全部问题。

slerp是一种三元运算，这意味着它有三个操作数。前两个操作数是两个四元数，将在它们中间插值。设这两个開始和结束的四元数分别为q0和q1.差值參数设为变量 t，t 在0到1之间变化。slerp函数：slerp(q0,q1,t)
   将返回q0和q1之间的插值方位。

// 两个输入四元数
float w0,x0,y0,z0;
float w1,x1,y1,z1;
// 差值变量
float t;
// 输出四元数
float w,x,y,z;
// 用点乘计算两个四元数夹角的cos值
float cosJiao = w0*w1 + x0*x1 + y0*y1 + z0*z1;
// 假设点乘为负，则反转一个四元数以取得短的4D弧
if (cosJiao < 0.0f) {
w1 = –w1;
x1 = –x1;
y1 = –y1;
z1 = –z1;
cosJiao = –cosJiao;
}
// 检查防止除零
float k0, k1;
if (cosJiao > 0.9999f) {
// 假设很接近，就线性插值
k0 = 1.0f–t;
k1 = t;
} else {
// 利用三角公式sin²+cos²=1计算sin值
float sinJiao = sqrt(1.0f – cosJiao*cosJiao);
// 通过sin和cos计算角度
float Jiao = atan2(sinJiao, cosJiao);
// 计算分母的倒数从而避免使用除法
float oneOverSinJiao = 1.0f / sinJiao;
// 计算插值变量
k0 = sin((1.0f – t) * Jiao) * oneOverSinJiao;
k1 = sin(t * Jiao) * oneOverSinJiao;
}
// 插入值
w = w0*k0 + w1*k1;
x = x0*k0 + x1*k1;
y = y0*k0 + y1*k1;
z = z0*k0 + z1*k1;

嘿嘿，四元数这个地方确实有点难度。。只是3D总体都不太简单，全部好好加油！

—End—

參考文献： （1）《3D Math Primer for Graphics and Game Development》

（2）  维基百科

（3） 《计算机图形学》