解题：HEOI 2016 求和

题面

我们需要知道这样一个东西(大概叫 斯特林公式？)

$S(i,j)=\frac{1}{j!}\sum\limits_{k=0}^{j}(-1)^k C_j^k(j-k)^i$

那么就是推啊

$=\sum\limits_{i=0}^n\sum\limits_{j=0}^iS(i,j)*2^j*j!$

然后问题来了，因为后面还有$2^j$和$j!$，我们发现这里展开斯特林数也没用，所以我们要把它们甩出去

因为$j>i$时$S(i,j)==0$，所以让后面求和到$n$，然后前提$2^j$和$j!$

$=\sum\limits_{i=0}^n\sum\limits_{j=0}^nS(i,j)*2^j*j!$

$=\sum\limits_{j=0}^n2^j*j!\sum\limits_{i=0}^nS(i,j)$

展开斯特林数

$=\sum\limits_{j=0}^n2^j*j!\sum\limits_{i=0}^n\frac{1}{j!}\sum\limits_{k=0}^{j}(-1)^k C_j^k(j-k)^i$

一般我们会把$C(j,k)$拆开来消掉前面的$\frac{i}{j!}$

$=\sum\limits_{j=0}^n2^j*j!\sum\limits_{i=0}^n\frac{1}{j!}\sum\limits_{k=0}^{j}(-1)^k\frac{j!}{k!(j-k)!}(j-k)^i$

$=\sum\limits_{j=0}^n2^j*j!\sum\limits_{i=0}^n\sum\limits_{k=0}^{j}(-1)^k\frac{1}{k!(j-k)!}(j-k)^i$

那后面这个东西明显的分成了两部分：和$k$有关的和和$j-k$有关的

$=\sum\limits_{j=0}^n2^j*j!\sum\limits_{i=0}^n\sum\limits_{k=0}^{j}\frac{(-1)^k}{k!}\frac{(j-k)^i}{(j-k)!}$

使用高中老师教给我们的等比数列求和公式

$=\sum\limits_{j=0}^n2^j*j!\sum\limits_{i=0}^n\sum\limits_{k=0}^{j}\frac{(-1)^k}{k!}\frac{(j-k)^{i+1}-1}{(j-k-1)(j-k)!}$

这样和是一定的，所以用NTT卷出来后面的然后前面的$O(n)$求和就可以了

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 const int N=,mod=;
 int a[*N],b[*N],rev[*N],fac[N],inv[N];
 int n,ni,G,Gi,pw,ans;
 void exGCD(int a,int b,int &x,int &y)
 {
     if(!b) {x=,y=; return;}
     exGCD(b,a%b,y,x),y-=a/b*x;
 }
 int Qpow(int x,int k)
 {
     if(!k) return ;
     if(k==) return x;
     int tmp=Qpow(x,k/);
     return k%?1ll*tmp*tmp%mod*x%mod:1ll*tmp*tmp%mod;
 }
 int Inv(int x)
 {
     int xx,yy;
     exGCD(x,mod,xx,yy);
     return (xx%mod+mod)%mod;
 }
 void NTT(int *arr,int len,int typ)
 {
     for(int i=;i<=len;i++)
         if(rev[i]>i) swap(arr[rev[i]],arr[i]);
     for(int i=;i<=len;i<<=)
     {
         int lth=i>>,ort=Qpow(~typ?G:Gi,(mod-)/i);
         for(int j=;j<len;j+=i)
         {
             int ori=,tmp;
             for(int k=j;k<j+lth;k++,ori=1ll*ori*ort%mod)
             {
                 tmp=1ll*ori*arr[k+lth]%mod;
                 arr[k+lth]=(arr[k]-tmp+mod)%mod;
                 arr[k]=(arr[k]+tmp)%mod;
             }
         }
     }
     if(typ==-)
     {
         int ni=Inv(len);
         for(int i=;i<=len;i++)
             arr[i]=1ll*arr[i]*ni%mod;
     }
 }
 void Init()
 {
     scanf("%d",&n);
     G=,Gi=Inv(G),fac[]=inv[]=pw=;
     for(int i=;i<=n;i++)
         fac[i]=1ll*fac[i-]*i%mod;
     inv[n]=Inv(fac[n]);
     for(int i=n-;i;i--)
         inv[i]=1ll*inv[i+]*(i+)%mod;
     for(int i=;i<=n;i++)
         a[i]=(i%)?mod-inv[i]:inv[i]; b[]=,b[]=n+;
     for(int i=;i<=n;i++)
         b[i]=1ll*(Qpow(i,n+)-)*Inv(i-)%mod*inv[i]%mod;
 }
 void Prework()
 {
     int len=; while(len<=*n+) len<<=;
     for(int i=;i<=len;i++)
         rev[i]=(rev[i>>]>>)+(i&)*(len>>);
     NTT(a,len,),NTT(b,len,);
     for(int i=;i<=len;i++) a[i]=1ll*a[i]*b[i]%mod;
     NTT(a,len,-);
 }
 int main()
 {
     Init(),Prework();
     for(int i=;i<=n;i++,pw=pw*%mod)
         ans+=1ll*pw*fac[i]%mod*a[i]%mod,ans%=mod;
     printf("%d",ans);
     return ;
 }