解题:HEOI 2016 求和
我们需要知道这样一个东西(大概叫 斯特林公式?)
$S(i,j)=\frac{1}{j!}\sum\limits_{k=0}^{j}(-1)^k C_j^k(j-k)^i$
那么就是推啊
$=\sum\limits_{i=0}^n\sum\limits_{j=0}^iS(i,j)*2^j*j!$
然后问题来了,因为后面还有$2^j$和$j!$,我们发现这里展开斯特林数也没用,所以我们要把它们甩出去
因为$j>i$时$S(i,j)==0$,所以让后面求和到$n$,然后前提$2^j$和$j!$
$=\sum\limits_{i=0}^n\sum\limits_{j=0}^nS(i,j)*2^j*j!$
$=\sum\limits_{j=0}^n2^j*j!\sum\limits_{i=0}^nS(i,j)$
展开斯特林数
$=\sum\limits_{j=0}^n2^j*j!\sum\limits_{i=0}^n\frac{1}{j!}\sum\limits_{k=0}^{j}(-1)^k C_j^k(j-k)^i$
一般我们会把$C(j,k)$拆开来消掉前面的$\frac{i}{j!}$
$=\sum\limits_{j=0}^n2^j*j!\sum\limits_{i=0}^n\frac{1}{j!}\sum\limits_{k=0}^{j}(-1)^k\frac{j!}{k!(j-k)!}(j-k)^i$
$=\sum\limits_{j=0}^n2^j*j!\sum\limits_{i=0}^n\sum\limits_{k=0}^{j}(-1)^k\frac{1}{k!(j-k)!}(j-k)^i$
那后面这个东西明显的分成了两部分:和$k$有关的和和$j-k$有关的
$=\sum\limits_{j=0}^n2^j*j!\sum\limits_{i=0}^n\sum\limits_{k=0}^{j}\frac{(-1)^k}{k!}\frac{(j-k)^i}{(j-k)!}$
使用高中老师教给我们的等比数列求和公式
$=\sum\limits_{j=0}^n2^j*j!\sum\limits_{i=0}^n\sum\limits_{k=0}^{j}\frac{(-1)^k}{k!}\frac{(j-k)^{i+1}-1}{(j-k-1)(j-k)!}$
这样和是一定的,所以用NTT卷出来后面的然后前面的$O(n)$求和就可以了
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=,mod=;
int a[*N],b[*N],rev[*N],fac[N],inv[N];
int n,ni,G,Gi,pw,ans;
void exGCD(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(!b) {x=,y=; return;}
exGCD(b,a%b,y,x),y-=a/b*x;
}
int Qpow(int x,int k)
{
if(!k) return ;
if(k==) return x;
int tmp=Qpow(x,k/);
return k%?1ll*tmp*tmp%mod*x%mod:1ll*tmp*tmp%mod;
}
int Inv(int x)
{
int xx,yy;
exGCD(x,mod,xx,yy);
return (xx%mod+mod)%mod;
}
void NTT(int *arr,int len,int typ)
{
for(int i=;i<=len;i++)
if(rev[i]>i) swap(arr[rev[i]],arr[i]);
for(int i=;i<=len;i<<=)
{
int lth=i>>,ort=Qpow(~typ?G:Gi,(mod-)/i);
for(int j=;j<len;j+=i)
{
int ori=,tmp;
for(int k=j;k<j+lth;k++,ori=1ll*ori*ort%mod)
{
tmp=1ll*ori*arr[k+lth]%mod;
arr[k+lth]=(arr[k]-tmp+mod)%mod;
arr[k]=(arr[k]+tmp)%mod;
}
}
}
if(typ==-)
{
int ni=Inv(len);
for(int i=;i<=len;i++)
arr[i]=1ll*arr[i]*ni%mod;
}
}
void Init()
{
scanf("%d",&n);
G=,Gi=Inv(G),fac[]=inv[]=pw=;
for(int i=;i<=n;i++)
fac[i]=1ll*fac[i-]*i%mod;
inv[n]=Inv(fac[n]);
for(int i=n-;i;i--)
inv[i]=1ll*inv[i+]*(i+)%mod;
for(int i=;i<=n;i++)
a[i]=(i%)?mod-inv[i]:inv[i]; b[]=,b[]=n+;
for(int i=;i<=n;i++)
b[i]=1ll*(Qpow(i,n+)-)*Inv(i-)%mod*inv[i]%mod;
}
void Prework()
{
int len=; while(len<=*n+) len<<=;
for(int i=;i<=len;i++)
rev[i]=(rev[i>>]>>)+(i&)*(len>>);
NTT(a,len,),NTT(b,len,);
for(int i=;i<=len;i++) a[i]=1ll*a[i]*b[i]%mod;
NTT(a,len,-);
}
int main()
{
Init(),Prework();
for(int i=;i<=n;i++,pw=pw*%mod)
ans+=1ll*pw*fac[i]%mod*a[i]%mod,ans%=mod;
printf("%d",ans);
return ;
}
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