Lattice Codes

最近在做的一些关于lattice codes的工作，想记录下来。

首先，我认为lattice coding是一种联合编码调制技术，将消息序列映射到星座点。其中一个良好的性质是lattice points的叠加仍然是lattice point。

先介绍一些关于lattice的基础知识。

Lattice $\Lambda  \subseteq {\mathbb{R}^n}$是$\mathbb{R}$空间的离散子群，可以通过生成矩阵${\bf{G}}$生成：

$\Lambda  = \left\{ {\lambda |\lambda  = {\bf{Gb}},{\bf{b}} \in {\mathbb{Z}^n}} \right\}$

（生成矩阵并不唯一，lattice空间的基也不唯一，之后可能会提到LLL算法，就是用来近似解决格中的最短矢量问题）

若将lattice当作一个码本，那么可以将$\bf{b}$当作待传输消息，$\bf{G}$当作编码规则，得到的$\Lambda$就是待传输的码字。

接收端将收到的信号通过量化器量化到$\Lambda$上最近的格点上（就是所谓的lattice译码方法）。

为了使发送的信号满足功率限制，又引入了shaping lattice，从而形成了nested lattice。

（Erez and Zamir, 2004）证明了，通过nested lattice码本，发送端加上抖动，接收端使用MMSE系数，以及lattice译码方法，就可以达到AWGN信道的容量。

待补充。。