Problem:  

  n个人(偶数)排队,排两行,每一行的身高依次递增,且第二行的人的身高大于对应的第一行的人,问有多少种方案。mod 1e9+9

Solution:

  这道题由1,2,5,14 应该想到Catalan数,但是我却花了两个小时去找递推式。

  首先 Catalan数 :

  基本规律:1,2,5,14,42,132,..........

典型例题:

  1、多边形分割。一个多边形分为若干个三角形有多少种分法。

    C(n)=∑(i=2...n-1)C(i)*C(n-i+1)

  2、排队问题:转化为n个人在第一行为0,第二行为1,则n个人的序列中,在1前面的所有0,1中,0的个数一定要大于1。

        见:http://blog.csdn.net/vast_sea/article/details/8173362      。类似于下一个问题。

  3、出入栈问题:问出入栈的方案数。

    与上一个问题相似,转换为0 为入栈,1为出栈,则合法的出入栈方案有多少?

  4,、括号匹配问题:n对括号有多少种匹配方式?类似于出入栈。

  5、二叉树问题:n个节点的二叉树有多少种形式?

     用T(i,j)表示 左节点 i 个,右节点 j 个。则根节点一定有一个,所以形式数为:T(0,n-1),T(1,n-2),T(2,n-3)....

     f[n]=f[0]*f[n-1]+f[1]*f[n-2]+.....+f[n]*f[0]

其次,Catalan数问题解决后,我们用C(n)=C(n-1)*(4*n-2)/(n-1)求解(不要问我哪里来的,我也不知道)。然后就会发现一个问题:

  A/BmodP 在数据大的情况下可能会出错,而A/BmodP肯定不等于AmodP/BmodP,这时就需要用到 逆元 了。

逆元:

  ax≡1(mod P)    ->  ax mod P=1 mod P = 1  ->    b/a*(ax) mod P == b/a mod P==b*x mod P

即 x 为a mod P的逆元。

求逆元的方式:

  1、扩展欧几里得:

    因为ax≡1(mod P),所以ax-1=nP,即ax-1为P的倍数。所以移项得:ax-nP=1。然后由扩展欧几里得算法推出x的解。

    扩展欧几里得算法推导:

      设 ax1+by1=gcd(a,b)    ∵gcd(a,b)=gcd(b,a%b)   ∴bx2+(a%b)y2=ax1+by1

      ∵a%b=a-(a/b)*b   ∴bx2+ay2-(a/b)*b*y2=ax1+by1

      根据恒等定理:x1=y2;  y1=x2-(a/b)*y2

    这样我们可以用递归求解,直到 b==0,x=1,y=0。递归x2,y2求x1,y1.

 代码:

void gcd(ll a,ll b,ll &d,ll &x,ll &y)
{
if (b==){
d=;x=;y=;
}
else {
gcd(b,a%b,d,y,x);y-=x*(a/b);//注意这里的y,x的区别,在递归的过程中,已经交换了x和y,所以为y-=x*(a/b);
}
}

  2、费马小定理:

    a^(p-1)≡1(mod P)

    则: a*a^(p-2)≡1(mod P)

    逆元:ax≡1(mod P),则x为a^(p-2),x为a mod P的逆元。可以由快速幂求得,但是如果数据大就太慢。

 代码:

ll ksm(ll x)//快速幂
{
ll tmp=x,t=,k=P-;
while (k>){
if (k%) t=(t*tmp)%P;
k=k>>;
tmp=(tmp*tmp)%P;
}
return t;
}
void pre()
{
inv[]=;
for (int i=;i<=N;i++)//费马小定理求 逆
inv[i]=ksm(i);
}

  这样,就可以A 了这道题。顺带复习了很多数论和递推知识。

代码:

 #include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define P 1000000009
#define N 1000000
#define ll long long
using namespace std;
int t;
ll cat[N];
void gcd(ll a,ll b,ll &d,ll &x,ll &y)
{
if (b==){
d=;x=;y=;
}
else {
gcd(b,a%b,d,y,x);y-=x*(a/b);
}
}
ll inv(ll q,ll w)
{
ll d,x,y;
gcd(q,w,d,x,y);
return d==?(x+w)%w:-;
}
void pre()
{
cat[]=;
for (int i=;i<=N;i++)
cat[i]=cat[i-]*(*i-)%P*inv(i+,P)%P;
}
int main()
{
freopen("a.in","r",stdin);
freopen("a.out","w",stdout);
pre();
cin>>t;
while (t)
{
int n;
scanf("%d",&n);
printf("%I64d\n",cat[n/]);
t--;
}
return ;
}

  

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