BZOJ1485:[HNOI2009]有趣的数列(卡特兰数)

Description

我们称一个长度为2n的数列是有趣的，当且仅当该数列满足以下三个条件：

(1)它是从1到2n共2n个整数的一个排列{a_i}；

(2)所有的奇数项满足a₁<a₃<…<a_2n-1，所有的偶数项满足a₂<a₄<…<a_2n；

(3)任意相邻的两项a_2i-1与a_2i(1≤i≤n)满足奇数项小于偶数项，即：a_2i-1<a_2i。

现在的任务是：对于给定的n，请求出有多少个不同的长度为2n的有趣的数列。因为最后的答案可能很大，所以只要求输出答案 mod P的值。

Input

输入文件只包含用空格隔开的两个整数n和P。输入数据保证，50%的数据满足n≤1000，100%的数据满足n≤1000000且P≤1000000000。

Output

仅含一个整数，表示不同的长度为2n的有趣的数列个数mod P的值。

Sample Input

3 10

Sample Output

5
对应的5个有趣的数列分别为（1,2,3,4,5,6），（1,2,3,5,4,6），（1,3,2,4,5,6），（1,3,2,5,4,6），（1,4,2,5,3,6）。

Solution

卡特兰数。每次找最前面的奇数/偶数位置放，显然若偶数位不多于奇数位就是合法的，然后就成了卡特兰数。

我才不会说我一开始是先直接猜了个卡特兰数交上去的

Code

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #define N (2000009)
 #define LL long long
 using namespace std;

 LL n,MOD,cnt,ans=,prime[N],Keg[N],d[N];

 void Euler()
 {
     for (int i=; i<=*n; ++i)
     {
         if (!d[i]){d[i]=i; prime[++cnt]=i;}
         for (int j=; j<=cnt && i*prime[j]<=*n; ++j)
         {
             d[i*prime[j]]=prime[j];
             if (i%prime[j]==) break;
         }
     }
 }

 void Divide(LL x,int opt)
 {
     while (x!=) Keg[d[x]]+=opt,x/=d[x];
 }

 int main()
 {
     scanf("%lld%lld",&n,&MOD);
     Euler();
     for (int i=n+; i<=*n; ++i) Divide(i,);
     for (int i=; i<=n; ++i) Divide(i,-);
     Divide(n+,-);
     for (int i=; i<=*n; ++i)
         for (int j=; j<=Keg[i]; ++j)
             ans=ans*i%MOD;
     printf("%lld\n",ans);
 }