【bzoj5197】[CERC2017]Gambling Guide 期望dp+堆优化Dijkstra

题目描述

给定一张n个点，m条双向边的无向图。

你要从1号点走到n号点。当你位于x点时，你需要花1元钱，等概率随机地买到与x相邻的一个点的票，只有通过票才能走到其它点。

每当完成一次交易时，你可以选择直接使用那张票，也可以选择扔掉那张票然后再花1元钱随机买另一张票。注意你可以无限次扔票。

请使用最佳的策略，使得期望花的钱数最少。

输入

第一行包含两个正整数n,m(1<=n,m<=300000)，表示点数和边数。

接下来m行，每行两个正整数u,v(1<=u,v<=n)，表示一条双向边。

输入数据保证无重边、无自环，且1号点一定可以走到n号点。

输出

输出一行一个实数，即最少的期望花费，当绝对或者相对误差不超过10^{-6}时视为正确。

样例输入

5 8
1 2
1 3
1 4
2 3
2 4
3 5
5 4
2 5

样例输出

4.1111111111

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题解

期望dp+堆优化Dijkstra

设 $f[i]$ 表示 $i$ 到终点的期望步数，那么有：$f[n]=0\ ,\ f[x]=\frac{\sum\limits_{(x,y)}\text{min}(f[x],f[y])+1}{d[x]}$ ，其中 $d[x]$ 表示 $x$ 的度数。

套路：对于这种 “初始只有一个点的dp值确定、其它点的dp值与其相邻的点有关” 的图上dp，考虑使用类似最短路的方式转移。

初始的时候除了 $n$ 以外，每个点的 $\text{min}(f[x],f[y])$ 都取 $f[x]$ ，dp值为 $+\infty$ 。

然后从 $n$ 号点开始最短路转移：对于当前的点 $i$ ，如果某个相邻的 $j$ 有 $f[j]>f[i]$ ，则对于 $f[j]$ 的计算来说，$\text{min}(f[j],f[i])$ 取 $f[i]$ 更优。此时更新 $j$ 的dp值，并将 $j$ 加入到待用于更新其它点的集合中。

注意到：如果使用 $f[i]$ 将 $f[j]$ 更新为 $f'[j]$ ，那么显然有 $f[i]\le f'[j]\le f[j]$ （等号在 $f[i]=f[j]$ 时取到），满足堆优化Dijkstra的贪心策略（当前最小的一定不会再被更新到更小），因此可以使用dp值小根堆来维护待用于更新其它点的集合，使用类似堆优化Dijkstra的方式转移即可。

最终的答案就是 $f[1]$ 。

时间复杂度 $O(m\log n)$

#include <queue>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define N 300010
using namespace std;
typedef pair<double , int> pr;
priority_queue<pr> q;
double s[N] , f[N];
int head[N] , to[N << 1] , next[N << 1] , cnt , vis[N] , d[N] , c[N];
inline void add(int x , int y)
{
	to[++cnt] = y , next[cnt] = head[x] , head[x] = cnt;
}
int main()
{
	int n , m , i , x , y;
	scanf("%d%d" , &n , &m);
	for(i = 1 ; i <= m ; i ++ ) scanf("%d%d" , &x , &y) , add(x , y) , add(y , x) , d[x] ++ , d[y] ++ ;
	q.push(pr(0 , n));
	while(!q.empty())
	{
		x = q.top().second , q.pop();
		if(vis[x]) continue;
		vis[x] = 1;
		for(i = head[x] ; i ; i = next[i])
			if(!vis[to[i]])
				c[to[i]] ++ , s[to[i]] += f[x] , f[to[i]] = (s[to[i]] + d[to[i]]) / c[to[i]] , q.push(pr(-f[to[i]] , to[i]));
	}
	printf("%lf\n" , f[1]);
	return 0;
}