(EX)CRT总结

(EX)CRT总结

这个东西是联赛的时候搞的，早就忘了，写篇博客复习一下

中国剩余定理(crt)

给定\(a\)、\(m\)

\[
x\equiv a_1(mod\;m_1)\\
x\equiv a_2(mod\;m_2)\\
x\equiv a_3(mod\;m_3)\\
...\\
x\equiv a_n(mod\;m_n)
\]

保证所有\(m\)互质，要求\(x\)最小。

记一下结论算了

设

\[
M=\prod_{i=1}^nm_i \\
M_i=M/m_i\\
k_iM_i\equiv1(mod\;m_i)
\]

则\(x=\sum_{i=1}^n(a_ik_iM_i)\;mod\;M\)

扩展中国剩余定理(excrt)

同样还是上面那堆东西，但是不保证所有\(m\)互质了。

设我们解前\(k-1\)个方程组的解为\(x\)，且\(M=\prod_{i=1}^{k-1}m_i\)

则前\(k-1\)个方程组的通解为\(x+i*M\)

对于第\(k\)个方程组，我们就是要求\(t\)，使得\(x+t*M\equiv a_k(mod\;m_k)\)

转化一下上述式子，\(t*M\equiv a_k-x(mod\;m_k)\)

用\(exgcd\)解出\(t\)，\(x_k=t*M+x\)