BZOJ5300：[CQOI2018]九连环——题解

一种打表的方法，适用于知道如何解九连环的人。

我们知道，解九（n）连环必须先解第九（n）环，然后解八（n-1）、七（n-2）……

根据这个我们飞快的写出了一个递推式，设\(f[i]\)为\(i\)连环的最少步，则：

\(f[i]=f[i-1]+f[i-2]*2+1\)

然后推到这里就不会了。（如果有人知道怎么解的话欢迎交流）

但是如果你用这个方法打表的话就会发现:

当\(i\)为奇数的时候有\(f[i]=f[i-1]*2+1\);

当\(i\)为偶数的时候有\(f[i]=f[i-1]*2\)。

利用这个规律从上往下推，同时记录1的出现个数以及2被乘了几次，你会惊奇的发现1的个数恰好等于\(f[i-2]\)。

可以得到：

\(f[i]=2^{i-1}+f[i-2]\)

利用等差数列求和公式以及分奇偶性讨论可以得到：

当\(i\)为奇数：\(f[i]=\frac{2^{i+1}-1}{3}\)

当\(i\)为偶数：\(f[i]=\frac{2^{i+1}-2}{3}\)

当然符合计算机整除的语言应该为：

对所有\(i\)：\(f[i]=\frac{2^{i+1}}{3}\)

然后大整数类我写了一个下午，在漫长的报错中我放弃了结构体……

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long double dl;
typedef long long ll;
const dl pi=acos(-1.0);
const int N=2e6+5;
struct complex{//定义复数
    dl x,y;
    complex(dl xx=0.0,dl yy=0.0){
        x=xx;y=yy;
    }
    complex operator +(const complex &b)const{
        return complex(x+b.x,y+b.y);
    }
    complex operator -(const complex &b)const{
        return complex(x-b.x,y-b.y);
    }
    complex operator *(const complex &b)const{
        return complex(x*b.x-y*b.y,x*b.y+y*b.x);
    }
};
void FFT(complex a[],int n,int on){
    for(int i=1,j=n>>1;i<n-1;i++){
        if(i<j)swap(a[i],a[j]);
        int k=n>>1;
        while(j>=k){j-=k;k>>=1;}
        if(j<k)j+=k;
    }
    for(int i=2;i<=n;i<<=1){
        complex res(cos(-on*2*pi/i),sin(-on*2*pi/i));
        for(int j=0;j<n;j+=i){
            complex w(1,0);
            for(int k=j;k<j+i/2;k++){
                complex u=a[k],t=w*a[k+i/2];
                a[k]=u+t;
                a[k+i/2]=u-t;
                w=w*res;
            }
        }
    }
    if(on==-1)
        for(int i=0;i<n;i++)a[i].x/=n;
}
int k[2][N],tmp[N];
int l[2];
void divd(int p,int b){
	int len=0,e=0;
	for(int i=l[p]-1;i>=0;i--){
		e=e*10+k[p][i];
		if(e>=b){
			tmp[len++]=e/b;
			e%=b;
		}else if(len)tmp[len++]=0;
	}
	if(!len)tmp[len++]=0;
	for(int i=0;i<=len-i-1;i++)swap(tmp[i],tmp[len-i-1]);
	memcpy(k[p],tmp,sizeof(tmp));l[p]=len;
}
void print(int p){
	for(int i=l[p]-1;i>=0;i--)
		printf("%d",k[p][i]);
	puts("");
}
complex x[N],y[N];
void multi(int p1,int p2){
	int len1=l[p1],len2=l[p2];
    int n=1;
    while(n<len1*2||n<len2*2)n<<=1;
    for(int i=0;i<len1;i++)x[i]=complex(k[p1][i],0);
    for(int i=len1;i<n;i++)x[i]=complex(0,0);
    for(int i=0;i<len2;i++)y[i]=complex(k[p2][i],0);
    for(int i=len2;i<n;i++)y[i]=complex(0,0);
    FFT(x,n,1);FFT(y,n,1);
    for(int i=0;i<n;i++)x[i]=x[i]*y[i];
    FFT(x,n,-1);
    for(int i=0;i<n;i++)k[p1][i]=(int)(x[i].x+0.5);
    for(int i=0;i<n;i++){
        k[p1][i+1]+=k[p1][i]/10;k[p1][i]%=10;
    }
    n=len1+len2-1;
    while(k[p1][n]<=0&&n>0)n--;
    l[p1]=n+1;
}
int main(){
	int n,m;
	scanf("%d",&m);
	while(m--){
		scanf("%d",&n);n++;
		k[0][0]=1,k[1][0]=2,l[0]=1,l[1]=1;
		while(n){
			if(n&1)multi(0,1);
			multi(1,1);
			n>>=1;
		}
		divd(0,3);
		print(0);
	}
	return 0;
}

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