Note -「数论 定理及结论整合」

数学素养 low，表达可能存在不严谨，见谅。我准备慢慢补上证明？

Theorems.

• 裴蜀定理：关于 \(x, y\) 的线性方程 \(ax + by = c\) 有解，当且仅当 \(\gcd (a, b) | c\)。

• 唯一分解定理：对于任意一个大于 \(1\) 的整数 \(n\)，\(n\) 可以唯一地被分解成若干个质数的幂的乘积。

• 欧拉定理：若 \(\gcd (a, m) = 1\)，则 \(a ^{\varphi (m)} \equiv 1 \pmod m\)。且可知 \(a ^{n \bmod \varphi (m)} \equiv a^n \pmod m\)。

  • 扩展：\(a ^n \bmod m =
    \begin {cases}
    a ^n \bmod m &{n < \varphi (m)}
    \\
    a ^{n \bmod \varphi (m) + \varphi (m)} \bmod m &{\mathrm{Otherwise.}}
    \end {cases}\)

• 费马小定理：若 \(p\) 为质数，则有 \(a ^p \equiv a \pmod p\)。

• 威尔逊定理：\((p - 1)! \equiv p \pmod p\)，当且仅当 \(p\) 为质数。

• 中国剩余定理：有 \(n\) 个方程 \(x \equiv a_i \pmod {p_i}\)，构成关于 \(x\) 的线性同余方程组，且 \(p_i\) 间两两互质。

  记 \(p = \prod \limits _{i = 1} ^{n} p_i, w_i = \frac {p} {p_i}\)，且有 \(\mathrm{Inv}(x, y)\) 表示 \(x\) 在模 \(y\) 意义下的逆元，则方程组的解为 \(x \equiv \sum \limits _{i = 1} ^{n} a_i w_i \mathrm{Inv}(w_i, p_i) \pmod p\)。

• 卢卡斯定理：\(d\binom {n} {m} \equiv \dbinom {n \bmod p} {m \bmod p} \dbinom {\lfloor \frac {n} {p} \rfloor} {\lfloor \frac {n} {p} \rfloor} \pmod p\)。

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Conclusions.

• \(\gcd (a^n - 1, a^m - 1) = a ^{\gcd (n, m)} - 1\)。

  • 扩展：\(\gcd (a^n - b^n, a^m - b^m) = a ^{\gcd (n, m)} - b ^{\gcd (n, m)}\)。其中 \(\gcd (a, b) = 1\)。

• \(f_x\) 表示斐波那契数列的第 \(x\) 项，则有 \(\gcd (f(n), f(m)) = f(\gcd (n, m))\)。

• 若有 \(ac \equiv bc \pmod m\)，则有 \(a \equiv b \pmod {\frac {m} {\gcd (c, m)}}\)。

• 若有 \(a \equiv b \pmod m\)，则有 \(a \equiv b \pmod c\)，其中 \(c | m\)。

• \(\sum \limits _{i = 1} ^{n} \sum \limits _{j = 1} ^{n} [\gcd (i, j) = x] = \sum \limits _{i = 1} ^{\lfloor \frac {n} {x} \rfloor} \sum \limits _{j = 1} ^{\lfloor \frac {n} {x} \rfloor} [\gcd (i, j) = 1] = 2 \times \sum \limits _{i = 1} ^{\lfloor \frac {n} {x} \rfloor} \varphi (i) - 1\)。

• \(\sum \limits _{d | n} \varphi (d) = n\)。

• 若 \(d(x) = \sum \limits _{d | n} 1\)，则 \(d = 1 * 1\)，其中（及以下所有）的 \(*\) 代指狄利克雷卷积。

• 若 \(\mathrm{Id}(x) = x\)，则 \(\mathrm{Id} = \varphi * 1\)。

• 若 \(I\) 为狄利克雷卷积单位元，则 \(I = \mu * 1\)。

• \(\sum \limits _{i = 1} ^{n} \sum \limits _{j = 1} ^{m} [\gcd (i, j) = x] = \sum \limits _{d = 1} ^{\min (a, b)} \mu (d) \lfloor \frac {a} {d} \rfloor \lfloor \frac {b} {d} \rfloor\)，其中 \(a = \lfloor \frac {n} {x} \rfloor, b = \lfloor \frac {m} {x} \rfloor\)。