Codeforces Round #822 (Div. 2) A-F

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A

题解

知识点：贪心。

注意到任意三根木棍的相等最优解是最长减最小，因此从小到大排序，三个三个取，取最小值。

时间复杂度 \(O(n\log n)\)

空间复杂度 \(O(n)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long

using namespace std;

ll a[307];
bool solve() {
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1;i <= n;i++) cin >> a[i];
    sort(a + 1, a + n + 1);
    ll ans = a[3] - a[1];
    for (int i = 3;i <= n;i++) {
        ans = min(ans, a[i] - a[i - 2]);
    }
    cout << ans << '\n';
    return true;
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int t = 1;
    cin >> t;
    while (t--) {
        if (!solve()) cout << -1 << '\n';
    }
    return 0;
}

B

题解

知识点：构造。

注意到第 \(i\) 行的房间最多明亮值为 \(i\) ，又发现只需要两侧房间安排火把已经满足一行最大值，因此直接两侧房间 \(1\) 其他都是 \(0\) 。

时间复杂度 \(O(n^2)\)

空间复杂度 \(O(1)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long

using namespace std;

bool solve() {
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1;i <= n;i++) {
        for (int j = 1;j <= i;j++) {
            if (j == 1 || j == i) cout << 1 << ' ';
            else cout << 0 << ' ';
        }
        cout << '\n';
    }
    return true;
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int t = 1;
    cin >> t;
    while (t--) {
        if (!solve()) cout << -1 << '\n';
    }
    return 0;
}

C

题解

知识点：贪心，数学。

从小到大，把每一个要删除的数当作 \(k\) 枚举倍数，如果是要删除的数花费一次 \(k\) 删掉，如果已经删过则无视，如果不是要删除的数则停止换下一个 \(k\) 。

时间复杂度 \(O(n\log n)\)

空间复杂度 \(O(n)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long

using namespace std;

int vis[1000007];
bool solve() {
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1;i <= n;i++) {
        char c;
        cin >> c;
        vis[i] = c == '1';
    }
    ll sum = 0;
    for (int i = 1;i <= n;i++) {
        if (vis[i] == 1) continue;
        for (int j = i;j <= n;j += i) {
            if (vis[j] == 1) break;
            if (vis[j] == 0) {
                vis[j] = 2;
                sum += i;
            }
        }
    }
    cout << sum << '\n';
    return true;
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int t = 1;
    cin >> t;
    while (t--) {
        if (!solve()) cout << -1 << '\n';
    }
    return 0;
}

D

题解

知识点：贪心，枚举。

先选择一个方向直走，比如先走左侧，走到不能再走为止，把尽头的生命值 \(lnw\) 记录下。

此时考虑回头，但显然在左侧尽头回头不是一定最优的，应该在走左侧过程中生命值和最大处回头才是最优的，因为这样在走右侧时可以走最多的路，因此在走左侧的过程中也要记录左侧的生命和最大值 \(lmx\) 。

同理从 \(lmx\) 回头走右侧时，也是走到尽头记录右侧最大生命值 \(rmx\) 和尽头生命值 \(rnw\) 。此时从 \(rmx\) 回头走左侧，应该直接从上一次的左侧尽头位置 \(lnw\) 继续走。

如此来回往复，直到两侧不能继续走或者到达两端为止。

时间复杂度 \(O(n)\)

空间复杂度 \(O(n)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long

using namespace std;

int a[200007];
bool solve() {
    int n, k;
    cin >> n >> k;
    for (int i = 1;i <= n;i++) cin >> a[i];
    int i = k - 1, j = k + 1;
    ll lmx = 0, lnw = 0, rmx = 0, rnw = 0;
    while (1 <= i && j <= n) {
        bool ok = false;
        while (1 <= i) {
            if (a[k] + lnw + rmx + a[i] < 0) break;
            ok = true;
            lnw += a[i--];
            lmx = max(lmx, lnw);
        }
        while (j <= n) {
            if (a[k] + lmx + rnw + a[j] < 0) break;
            ok = true;
            rnw += a[j++];
            rmx = max(rmx, rnw);
        }
        if (!ok) break;
    }
    if (i == 0 || j == n + 1) cout << "YES" << '\n';
    else cout << "NO" << '\n';
    return true;
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int t = 1;
    cin >> t;
    while (t--) {
        if (!solve()) cout << -1 << '\n';
    }
    return 0;
}

E

题解

知识点：构造，数学。

注意到，

\[\begin{aligned}
& & a_{i_1,j_1} + a_{i_2,j_2} \not \equiv a_{i_1,j_2} + a_{i_2,j_1} \pmod n\\
&\Leftrightarrow & a_{i_2,j_2} - a_{i_2,j_1} \not \equiv a_{i_1,j_2} - a_{i_1,j_1} \pmod n
\end{aligned}
\]

猜测一行元素具有线性关系，设 \(i_1\) 行线性系数为 \(k_1\) ，\(i_2\) 行线性系数为 \(k_2\) ，于是有：

\[\begin{aligned}
&\Leftrightarrow & (j_2-j_1)\cdot k_2 \not \equiv (j_2-j_1)\cdot k_1 \pmod n
\end{aligned}
\]

根据定理：当 \(k > 0\) 时,若 \(kx \equiv ky \pmod n\) ，则 \(x \equiv y\pmod {\frac{n}{gcd(k,n)}}\) 。

于是有：

\[\begin{aligned}
&\Leftrightarrow & k_2 \not \equiv k_1 \pmod n
\end{aligned}
\]

因此，只要每行之间的线性系数在 \(\mod n\) 意义下不同余，且在 \((i,i)\) 处经过 \(b_i\) 即可。

显然，\(i \in [1,n]\) 时即能保证互不同余，可以当作系数，因此有公式 \(b_{i,j} = (i \cdot (j-i) + b_i) \mod n\) 。

时间复杂度 \(O(n^2)\)

空间复杂度 \(O(n^2)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long

using namespace std;

int a[357][357], b[357];
bool solve() {
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1;i <= n;i++) cin >> b[i];
    for (int i = 1;i <= n;i++) {
        for (int j = 1;j <= n;j++) {
            a[i][j] = ((i * (j - i) + b[i]) % n + n) % n;
        }
    }
    for (int i = 1;i <= n;i++) {
        for (int j = 1;j <= n;j++) {
            cout << a[i][j] << ' ';
        }
        cout << '\n';
    }
    return true;
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int t = 1;
    //cin >> t;
    while (t--) {
        if (!solve()) cout << -1 << '\n';
    }
    return 0;
}

F

题解

知识点：记忆化搜索，线性dp，数学，位运算。

先是一个结论：定义函数 \(parity(a)\) 表示 \(a\) 二进制位 \(1\) 的个数的奇偶性（奇数返回 \(1\) ，偶数返回 \(0\)），那么 \(S_i = parity(i)\) 。

证明非常简单：

1. 由于 \(S\) 的生成方法是每次都从原来的一份取反得到 \(S'\) 放到 \(S\) 末尾，所以第 \(k(k\geq 1)\) 次扩展后 \(S\) 的编号一定是 \([0,2^{k-1}]\) 。
2. 对于第 \(k+1\) 次新生成的 \(S'\) 中的每一位编号 \(i'\) ，满足 \(i’ = i + 2^k\) ，因为编号 \(i\) 的第 \(k\) 位之前一定是 \(0\)，所以这次变换实际上是将编号 \(i\) 的第 \(k\) 位变为 \(1\) 作为编号 \(i'\)。
3. 显然，所有数字都是从编号 \(0\) 开始数次变换得到的，每次变换都会将编号的一位 \(0\) 变为 \(1\) ，因此我们记录二进制 \(1\) 的数量就能得知这个编号从 \(0\) 变换了多少次。
4. \(S_0 = 0\) ，所以编号 \(i\) 有偶数个 \(1\) 就是变了偶数次，故 \(S_i=0\) ，否则 \(S_i = 1\) 。即 \(S_i = parity(i)\) 。

有了这个结论，我们就可以对问题进行量化。记原问题答案为 \(f(n,m)\) ，有 \(f(n,m) = \sum_{i = 0}^{m-1} [parity(i) \neq parity(n+i)]\) 。

当 \(m = 0\) 时，显然有 \(f(n,0) = 0\) 。

当 \(m\) 为奇数时，先对末尾判断再对 \(m-1\) 讨论（偶数讨论方便一点），有 \(f(n,m) = f(n,m-1) + [parity(i) \neq parity(n+i)]\) 。

当 \(m\) 为偶数时：

• \(n\) 为偶数，有如下关系：

  \[\begin{aligned}
  && &parity(2k) \neq parity(n+2k) \\
  &\Leftrightarrow& &parity(2k+1) \neq parity(n+2k+1)\\
  \end{aligned}
  \]

  因为偶数末尾总是 \(0\) ，加 \(1\) 不会影响其余的二进制位，所以 \(1\) 的数量明确加 \(1\) ，奇偶性一定同时改变。

  \[\begin{aligned}
  && &parity(2k) \neq parity(n+2k) \\
  &\Leftrightarrow& &parity(k) \neq parity(\frac{n}{2}+k)
  \end{aligned}
  \]

  因为偶数末尾总是 \(0\) ，删去这个 \(0\) 后，数字奇偶性不变。

  那么有如下公式：

  \[\begin{aligned}
  f(n,m) &= \sum_{i = 0}^{m-1} [parity(i) \neq parity(n+i)]\\
  &= 2\sum_{k = 0}^{\frac{m}{2}-1} [parity(2k) \neq parity(n+2k)]\\
  &= 2\sum_{k = 0}^{\frac{m}{2}-1} [parity(k) \neq parity(\frac{n}{2}+k)]\\
  &= 2f(\frac{n}{2},\frac{m}{2})
  \end{aligned}
  \]

• \(n\) 为奇数，有如下关系：

  \[\begin{aligned}
  && &parity(2k) \neq parity(n+2k) \\
  &\Leftrightarrow& &parity(2k) = parity(n+2k-1)\\
  &\Leftrightarrow& &parity(k) = parity(\frac{n-1}{2}+k)\\
  \end{aligned}
  \]

  以及，

  \[\begin{aligned}
  && &parity(2k+1) \neq parity(n+2k+1) \\
  &\Leftrightarrow& &parity(2k) = parity(n+2k+1)\\
  &\Leftrightarrow& &parity(k) = parity(\frac{n+1}{2}+k)\\
  \end{aligned}
  \]

  证明同上。

  \[\begin{aligned}
  f(n,m) &= \sum_{i = 0}^{m-1} [parity(i) \neq parity(n+i)]\\
  &= \sum_{k = 0}^{\frac{m}{2}-1} ([parity(2k) = parity(n+2k-1)] + [parity(2k) = parity(n+2k+1)])\\
  &= \sum_{k = 0}^{\frac{m}{2}-1} ([parity(k) = parity(\frac{n-1}{2}+k)] + [parity(k) = parity(\frac{n+1}{2}+k)])\\
  &= m - f(\frac{n-1}{2},\frac{m}{2}) - f(\frac{n+1}{2},\frac{m}{2})
  \end{aligned}
  \]

至此，我们就可以通过记忆化搜索进行求解了。

时间复杂度 \(O(\log n \log m)\)

空间复杂度 \(O(\log n \log m)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long

using namespace std;

bool check(ll a, ll b) {
    return __builtin_parityll(a) != __builtin_parityll(b);
}

map<pair<ll, ll>, ll> mp;
ll f(ll n, ll m) {
    if (m == 0) return 0;
    if (mp.count({ n,m })) return mp[{n, m}];
    if (m & 1) return mp[{n, m}] = f(n, m - 1) + check(m - 1, n + m - 1);
    if (n & 1) return mp[{n, m}] = m - f(n / 2, m / 2) - f((n + 1) / 2, m / 2);
    else return mp[{n, m}] = 2 * f(n / 2, m / 2);
}

bool solve() {
    ll n, m;
    cin >> n >> m;
    cout << f(n, m) << '\n';
    return true;
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int t = 1;
    cin >> t;
    while (t--) {
        if (!solve()) cout << -1 << '\n';
    }
    return 0;
}