向量积&&凸包算法
参考:Thanks
百度百科
http://blog.csdn.net/keng_s/article/details/52131034
https://www.cnblogs.com/aiguona/p/7232243.html
一定要有耐心,仔细的看。(#^.^#)
预备:
向量积
概念:
向量积,数学中又称外积、叉积,物理中称矢积、叉乘,是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同,它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。
计算:a,b,c均为向量
向量的叉乘,即求同时垂直两个向量的向量,即c垂直于a,同时c垂直于b(a与c的夹角为90°,b与c的夹角为90°)
c = a×b = (a.y*b.z-b.y*a.z , b.x*a.z-a.x*b.z , a.x*b.y-b.x*a.y)
以上图为例a(1,0,0),b(0,1,0),c=a×b = (0,0,1)
相关:
向量积|c|=|a×b|=|a| |b|sin<a,b>
即c的长度在数值上等于以a,b,夹角为θ组成的平行四边形的面积。
如果a,b的叉积|c|的数值>0 说明 b在a的逆时针方向
|c|的数值=0 说明 b和a在一条直线上
|c|的数值<0 说明 b在a的顺时针方向
===========================================================分割线
凸包
概念:
1.在一个实数向量空间V中,对于给定集合X,所有包含X的凸集的交集S被称 为X的凸包。X的凸包可以用X内所有点(X1,...Xn)的凸组合来构造.
2. 在二维欧几里得空间中,凸包可想象为一条刚好包著所有点的橡皮圈。
3. 用不严谨的话来讲,给定二维平面上的点集,凸包就是将最外层的点连接起来构成的凸多边型,它能包含点集中所有的点。
定义:
1.点集Q的凸包(convex hull)是指一个最小凸多边形,满足Q中的点或者在多边形边上或者在其内。下图中由红色线段表示的多边形就是点集Q={p0,p1,...p12}的凸包。
2.一组平面上的点,求一个包含所有点的最小的凸多边形,这就是凸包问题了。这可以形象地想成这样:在地上放置一些不可移动的木桩,用一根绳子把他们尽量紧地圈起来,并且为凸边形,这就是凸包了。
常用求法:
Graham扫描法
过程:
1.在所有点中选取y坐标最小的一点H,当作基点。如果存在多个点的y坐标都为最小值,则选取x坐标最小的一点。。坐标相同的点应排除。
然后按照其它各点p和基点构成的向量<H,p>;与x轴的夹角进行排序,夹角由大至小进行顺时针扫描,反之则进行逆时针扫描。实现中无需求得夹角,只需根据余弦定理求出向量夹角的余弦值即可。
以下图为例,基点为H,根据夹角由小至大排序后依次为H,K,C,D,L,F,G,E,I,B,A,J。下面进行逆时针扫描。
2.线段<H,K>;一定在凸包上,接着加入C。假设线段<K,C>;也在凸包上,因为就H,K,C三点而言,它们的凸包就是由此三点所组成。但是接下来加入D时会发现,线段<K,D>;才会在凸包上,所以将线段<K,C>;排除,C点不可能是凸包。
3. 即当加入一点时,必须考虑到前面的线段是否在凸包上。
基点开始,凸包上每条相临的线段的旋转方向应该一致,并与扫描的方向相反。
如果发现新加的点使得新线段与上线段的旋转方向发生变化,则可判定上一点必然不在凸包上。实现时可用向量叉积进行判断。
设新加入的点为P[n+1],上一点为P[n],再上一点为P[n-1]。顺时针扫描时,如果向量
(P[n-1],P[n])与(P[n],P[n+1])的叉积为正(逆时针扫描判断是否为负),则将上一点删除。删除过程需要回溯,将之前所有叉积符号相反的点都删除,然后将新点加入凸包。
在上图中,加入K点时,由于线段<H,C>要旋转到<H,K>的角度,为顺时针旋转,所以C点不在凸包上,应该删除,保留K点。接着加入D点,由于线段<K,D>要旋转到<H,K>的角度,为逆时针旋转,故D点保留。按照上述步骤进行扫描,直到点集中所有的点都遍历完成,即得到凸包.
模板:
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define PI 3.1415926535
#define DB double
#define eps 1e-8
using namespace std;
const int N=;
int T,n,L;
struct node{
DB x,y;
}d[N],s[N];//d[]存入的所有的点 s[]凸包中所有的点
bool cmp1(node a,node b)
{
if(a.y!=b.y) return a.y<b.y;
else return a.x<b.x;
}
DB Cross(node a1,node a2,node b1,node b2)
{
return (a2.x-a1.x)*(b2.y-b1.y)-(b2.x-b1.x)*(a2.y-a1.y);
}
DB dis(node a,node b)
{
return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x)*1.0+(a.y-b.y)*(a.y-b.y));
}
bool cmp2(node a,node b)//极角排序,原理见紫色部分
{
DB m=Cross(d[],a,d[],b);
if(m>) return ;
else if(m==) return dis(d[],a)<dis(d[],b);
return ;
}
int top;
DB ans;
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=;i<=n;++i)scanf("%lf%lf",&d[i].x,&d[i].y);
sort(d+,d+n+,cmp1);
s[++top]=d[];
sort(d+,d+n+,cmp2);
s[++top]=d[];
for(int i=;i<=n;++i)
{
while(top>= && Cross(s[top-],s[top],s[top],d[i])<=) top--;
//控制<0或<=0可以控制重点,共线的,具体视题目而定
s[++top]=d[i];
}
for(int i=;i<top;++i)ans+=dis(s[i],s[i+]);
ans+=dis(s[],s[top]);
printf("%.2lf\n",ans);
return ;
}
盛开吧这世界最美丽的花。
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