【LuoguP5206】[WC2019] 数树

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题意

定义 \(F(T_1,T_2)=y^{n-common}\) 其中 \(common\) 为两棵树 \(T_1,T_2\) 的公共边条数。

三种问题

1.给定 \(T_1,T_2\)

2.给定 \(T1\)，\(T_2\)任意

3.均任意

Sol

第一种 std::set<int> 存边即可

这道题的关键在第二问。

考虑要求的式子：

我们令 \(c\) 是重边条数。

\[ans=\sum_{T_2} y^{n-c}=y^n\sum_{T_2}y^{-c}
\]

一个显然的想法就是枚举 \(c\) 具体是多少然后容斥计算。

但是这里有一个更为方便的方法。

因为限制等价是恰好有 c 条重边，然后贡献是一个 \(x^k\) 的形式，我们可以套用一下二项式定理。

\[ans= y^n\sum (y^{-1}-1+1)^c\\
ans= y^n\sum \sum_{i=0}^c {c\choose i}(y^{-1}-1)^i\\
\]

容易发现即是每一个重边集合的子集都会贡献一次 \((y^{-1}-1)^i\) 的答案，其中 \(i\) 代表了重边集合的大小。

这样子答案就变成了:

\[ans=y^n\sum_{E\subseteq E_{T_1}} (y^{-1}-1)^{|E|}*F(E)
\]

其中 \(F(E)\) 表示的是一棵含有 \(E\) 这个边集的的数目。

这个大力用\(prufer\)序列推式子可以得出:

\(F(E)=n^{m-2}\prod_{i=1}^m size_i\)

令 \(m\) 是边集形成的连通块个数。

回代:

\[ans=y^n\sum_{E\subseteq E_{T_1}} (y^{-1}-1)^{|E|}n^{m-2}\prod_{i=1}^m size_i
\]

显然我们有 \(|E|=n-m\)

为了方便我们把所有和 m 无关的东西往外面放:

\[ans=(1-y)^n*n^{-2}\sum_{E\subseteq E_{T_1}} \bigg((y^{-1}-1)^{-1}n\bigg)^m\prod_{i=1}^m size_i
\]

这个东西只和连通块个数及大小有关。

看到后面带有乘法操作，那么很容易想到思考一下组合意义。

可以认为就是每一个连通块里面选出一个关键点的方案数。

那么我们就是要求把树 \(T_1\) 分成若干连通块并在每一个块内选取一个关键点的方案数的和，每多选出一个连通块对答案的贡献就乘上一个 系数 \(K=n(y^{-1}-1)^{-1}\)

这个就可以直接树形 \(dp\) \(O(n)\) 解决了，设 \(f[i][0/1]\) 就行了。

接下来就是第三问了，这里显然会用到生成函数了。

答案的式子就是多了个枚举:

\[ans=(1-y)^n*n^{-2}\sum_{T_1}\sum_{E\subseteq E_{T_1}} \bigg((y^{-1}-1)^{-1}n\bigg)^m\prod_{i=1}^m size_i
\]

我们其实在式子中就没有用到过 \(T_1\)，所以它也是个凑方案数的:

\[ans=(1-y)^n*n^{-2}\sum_{E} F(E)\bigg((y^{-1}-1)^{-1}n\bigg)^m\prod_{i=1}^m size_i
\]

乘上一个含有这种边集的树的方案数就行了，按照之前的结论:

\[ans=(1-y)^n*n^{-2}\sum_{E} n^{m-2}\bigg((y^{-1}-1)^{-1}n\bigg)^m\prod_{i=1}^m size_i^2
\]

\[ans=(1-y)^n*n^{-4}\sum_{E} \bigg(n^2(y^{-1}-1)^{-1}\bigg)^m\prod_{i=1}^m size_i^2
\]

美化一下式子，令 \(B=(1-y)^n*n^{-4},K=n^2(y^{-1}-1)^{-1}\)

\[ans=B\sum_{E} K^m\prod_{i=1}^m size_i^2
\]

这个生成函数构造很明显了:

设 \(g_i=K*i^2*i^{i-2}=K*i^i\) 就是 \(i\) 个点一个连通块时的后面那个式子的贡献(后面那个是这种树的方案数)

设 \(EGF\) : \(G(x)=\sum_{i=1} \frac{g_ix^i}{i!}\)

用指数型生成函数，卷积就是合并两个连通块了。

所以我们似乎要求:

\[\sum_{i=1}^n G(x)^i
\]

注意到我们会算重，那么应该是:

\[\sum_{i=1}^n \frac{G(x)^i}{i!}
\]

因为连通块之间是无序的。

所以这东西就是一个 \(e^{G(x)}\) 就做完了。

多项式 \(exp\) 即可。

code:

#include<bits/stdc++.h>
#define Set(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define Copy(a,b) memcpy(a,b,sizeof(a))
#define Clear(a,_begin_,_end_) for(int i=_begin_;i<_end_;++i) a[i]=0
using namespace std;
const int N=1e5+10;
const int mod=998244353;
template <typename T> inline void init(T&x){
	x=0;char ch=getchar();bool t=0;
	for(;ch>'9'||ch<'0';ch=getchar()) if(ch=='-') t=1;
	for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch-48);
	if(t) x=-x;return;
}
typedef long long ll;
template<typename T>inline void Inc(T&x,int y){x+=y;if(x>=mod) x-=mod;return;}
template<typename T>inline void Dec(T&x,int y){x-=y;if(x <  0) x+=mod;return;}
template<typename T>inline int fpow(int x,T k){int ret=1;for(;k;k>>=1,x=(ll)x*x%mod) if(k&1) ret=(ll)ret*x%mod;return ret;}
inline int Sum(int x,int y){x+=y;if(x>=mod) return x-mod;return x;}
inline int Dif(int x,int y){x-=y;if(x < 0 ) return x+mod;return x;}
int n,y,op;
namespace Task1{
	set<int> E[N];
	void work(){
		int u,v;
		for(int i=1;i<n;++i) {
			init(u),init(v);if(u>v) swap(u,v);
			E[u].insert(v);
		}int cnt=0;
		for(int i=1;i<n;++i) {
			init(u),init(v);if(u>v) swap(u,v);
			if(E[u].find(v)!=E[u].end()) ++cnt;
		}cout<<fpow(y,n-cnt)<<endl;
	}
}
namespace Task2{
	int f[N][2];
	struct edge{int to,next;}a[N<<1];
	int head[N],cnt=0,iy;
	inline void add(int x,int y){a[++cnt]=(edge){y,head[x]};head[x]=cnt;}
	void dfs(int u,int fa){
		f[u][0]=1,f[u][1]=1;
		for(int v,i=head[u];i;i=a[i].next) {
			v=a[i].to;if(v==fa) continue;dfs(v,u);
			f[u][1]=Sum((ll)f[u][1]*((ll)f[v][0]*iy%mod+f[v][1])%mod,(ll)f[u][0]*f[v][1]%mod*iy%mod);
			f[u][0]=(ll)f[u][0]*((ll)f[v][0]*iy%mod+f[v][1])%mod;
		}
		f[u][0]=(ll)f[u][0]*y%mod;
		f[u][1]=(ll)f[u][1]*y%mod;
		return;
	}
	void work(){
		if(y==1) return void(printf("%d\n",fpow(n,n-2)));
		for(int i=1;i<n;++i){int u,v;init(u),init(v);add(u,v),add(v,u);}
		int base=(ll)fpow(1-y+mod,n)*fpow(n,mod-3)%mod;
		y=(ll)fpow(fpow(y,mod-2)-1,mod-2)*n%mod;
		iy=fpow(y,mod-2),dfs(1,0);int ans=f[1][1];
		ans=(ll)ans*base%mod;
		printf("%d\n",ans);
		return;
	}
}
namespace Task3{
	const int MAXN=N<<2;
	int rader[MAXN];
	const int SIZE=sizeof(rader);
	int wn[30],iwn[30],Inv[MAXN];
	inline void Calcw(){for(int i=0;i<30;++i) wn[i]=fpow(3,(mod-1)/(1<<i)),iwn[i]=fpow(wn[i],mod-2);}
	inline void Calc_Inversion(){Inv[1]=1;for(int i=2;i<MAXN;++i) Inv[i]=(ll)(mod-mod/i)*Inv[mod%i]%mod;}
	inline int Init(int m){
		int len=1,up=-1;for(;len<m;len<<=1,++up);
		for(int i=0;i<len;++i) rader[i]=(rader[i>>1]>>1)|((i&1)<<up);
		return len;
	}
	inline void NTT(int*A,int n,int f){
		for(int i=0;i<n;++i) if(rader[i]>i) swap(A[rader[i]],A[i]);
		for(int i=1,h=1;i<n;i<<=1,++h){
			int W=(~f)? wn[h]:iwn[h];
			for(int j=0,p=i<<1;j<n;j+=p)
				for(int w=1,k=0;k<i;++k,w=(ll)w*W%mod) {
					int X=A[j|k],Y=(ll)A[j|k|i]*w%mod;
					A[j|k]=Sum(X,Y),A[j|k|i]=Dif(X,Y);
				}
		}if(!~f) for(int i=0;i<n;++i) A[i]=(ll)A[i]*Inv[n]%mod;
		return;
	}
	int fac[N],finv[N];
	inline void Mul(const int*a,const int*b,int*c,const int n,const int m) {
		int L=n+m-1;int len=Init(L);static int A[MAXN],B[MAXN];
		for(int i=0;i<n;++i) A[i]=a[i];for(int i=0;i<m;++i) B[i]=b[i];
		Clear(A,n,len);Clear(B,m,len);NTT(A,len,1),NTT(B,len,1);
		for(int i=0;i<len;++i) c[i]=(ll)A[i]*B[i]%mod;
		NTT(c,len,-1);return;
	}
	inline void Poly_Inv(const int*F,int*I,const int n){
		if(n==1) {memset(I,0,SIZE);I[0]=fpow(F[0],mod-2);return;}
		Poly_Inv(F,I,(n+1)>>1);int L=n<<1,len=Init(L);
		static int A[MAXN];for(int i=0;i<n;++i) A[i]=F[i];Clear(A,n,len);
		NTT(I,len,1);NTT(A,len,1);
		for(int i=0;i<len;++i) I[i]=Dif(Sum(I[i],I[i]),(ll)I[i]*I[i]%mod*A[i]%mod);
		NTT(I,len,-1);Clear(I,n,len);return;
	}
	inline void Direv(int*A,const int n){for(int i=0;i<n;++i) A[i]=(ll)A[i+1]*(i+1)%mod;A[n-1]=0;return;}
	inline void Integ(int*A,const int n){for(int i=n-1;i;--i) A[i]=(ll)A[i-1]*Inv[i]%mod; A[0]=0;return;}
	inline void Poly_Ln(const int*F,int*L,const int n) {
		static int A[MAXN],B[MAXN];for(int i=0;i<n;++i) A[i]=F[i];
		Direv(A,n);Poly_Inv(F,B,n);Mul(A,B,L,n,n);
		int TL=(n<<1)-1;Clear(L,n,TL);Integ(L,n);return;
	}
	inline void Poly_Exp(const int*F,int*E,const int n){
		if(n==1) {memset(E,0,SIZE);E[0]=1;return;} static int A[MAXN];
		Poly_Exp(F,E,(n+1)>>1);Poly_Ln(E,A,n);
		for(int i=0;i<n;++i) A[i]=Dif(F[i],A[i]);Inc(A[0],1);
		Mul(E,A,E,n,n);int TL=(n<<1)-1;Clear(E,n,TL);return;
	}
	void work(){
		if(y==1) return void(printf("%d\n",fpow(n,(n-2)<<1)));
		Calcw(),Calc_Inversion();
		int base=(ll)fpow(1-y+mod,n)*fpow(n,mod-5)%mod;
		y=(ll)fpow(fpow(y,mod-2)-1,mod-2)*n%mod*n%mod;
		fac[0]=finv[0]=1;
		for(int i=1;i<=n;++i) fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%mod,finv[i]=(ll)finv[i-1]*Inv[i]%mod;
		static int F[MAXN];
		for(int i=1;i<=n;++i) F[i]=(ll)y*fpow(i,i)%mod*finv[i]%mod;
		static int E[MAXN];Poly_Exp(F,E,n+1);
		int ans=(ll)E[n]*fac[n]%mod;
		ans=(ll)ans*base%mod;
		printf("%d\n",ans);
		return;
	}
}
int main()
{
	init(n),init(y),init(op);
	if(op==0) Task1::work();
	else if(op==1) Task2::work();
	else if(op==2) Task3::work();
	return 0;
}