ZROI 19.08.02 计算几何

1.向量基础知识

$atan2$可以求极角，但是不是特别精确，在坐标接近$10^{9}$时会出锅，安全的做法是叉积。
旋转、反射和平移等都可以抽象为矩阵，即，它们可以复合。（需要一些必修四知识）
给一个序列，每个位置表示旋转、反射、平移中的一种，求$(x,y)$经过序列$[l,r]$的点。

线段树维护矩乘就好了，矩阵里需要带个常数位置。

Simpson积分

不会积分，告辞。

2.简单题

求点$p$在直线$p_1p_2$上的投影。

投影就是点积，直接积就行了，~~必修四怎么学的。~~

求点$p$在直线$p_1p_2$的反射点。

跟上面的一模一样。

判断两个向量的$5$种位置关系。

叉积判出不共线的两种，剩下的直接比较横坐标就可以了。

给两条直线，问它们是平行还是垂直还是都不是。

平行向量叉积为$0$，垂直向量点积为$0$。

判两条线段是否相交（不严格，端点交也算）。

跨立实验：对于一条线段，看另一条线段的两个点是否在它两侧，两边都是的话就对。

在一条直线上的情况会锅。

可以先判断外接矩形是否相交。（必要条件，不充分）

求两条线段交点，保证有交（其实可以用上面的判一下）。

发现答案是$A\cdot k_A$或者$B\cdot k_B$的形式，列两个方程解就行了。

特判共线情况。

求两条线段距离。（$A,B$各找一个点，使距离最小）。

发现一定取在某条线段的端点，转化为求点到线段距离。

计算$A$在$p_1p_2$上投影占$p_1p_2$比例，$\leq 0$离$p_1$最近，$\geq 1$离$p_2$最近，否则离投影点最近。

逆时针给一个多边形，求面积。

一路叉积过去就好。

逆时针给一个多边形，求是否凸。

一路叉积过去，两两边之间的叉积都要$>0$。

逆时针给一个多边形，求一个点在多边形内、上还是外。

在多边形上很好判。

射线法，交奇数次在内部，偶数次在外部，但是会出现一些问题。

一种简单办法是把射线斜率设为无理数。

否则就要特判。硬点射线斜率是$0$，且水平向右。

依次考虑每条边，平行的可以直接无视。

本质要解决的是穿过顶点的问题。

如果$A$在$R$上，且$AB$向上，或$B$在$R$上，且$AB$向下则算相交。

给点集，求凸包。

~~烂大街~~经典问题。

给凸包，求直径。

旋转卡壳。从横坐标最小和最大的点开始，每次前移一条边（类似双指针）。

给凸多边形和一条射线，求凸多边形在射线左侧的面积。

扫一遍凸多边形，把符合要求的顶点和交点都拿出来求面积。

-$n$个点求最近点对。

分治，对于跨过中点的点对，只要找$|x_i-x_j|$不超过$d$的点即可。按$y$排序，每个点有贡献的点是常数个。

圆之间的关系：相离（$2+2$条公切线），外切（$1+2$），相交（$0+2$），内切（$0+1$），包含（$0+0$）。

求圆和直线的交点。

求出弦心距，即可解出三角形，用夹角计算即可。

求两个圆交点。

可以形成一个三边长为$r_1,r_2,dis(o_1,o_2)$的三角形，余弦定理解出夹角即可。

点到圆的切点。

解三角形求夹角。

求两个圆的公切线（$0-4$条）。

判一下$0,1$条公切线的情况。否则一定有两条外公切线。

由于公切线垂直于两条半径，可以平移一下，构造一个$r_1-r_2,d,len$的直角三角形，解三角形即可。

内公切线形成了两个相似三角形。

求圆和多边形交的面积。

可以把多边形切成若干个有向三角形，转化成圆和三角形交的面积。

不妨把三角剖分的原点设为圆心。

如果整个三角形都在圆内，返回三角形面积。

如果整个$AB$都在圆外（垂线长$\geq r$），返回扇形面积。

否则按照$AB$与圆的交点切开，递归处理。发现最多递归常数次。

最小圆覆盖。

经典问题，随机增量法。

3.较难题

$n$个圆盘从天而降，后面的会盖住前面的，求最后可见的轮廓线总长。$n\leq 1000$。

对每个圆盘求出后面的圆盘覆盖它的角度区间（求两个交点），并一下即可求出可见弧长。

一棵有根树，每个点有$a_i,b_i$，从某个点跳到子树某个点上，代价为$a_i\cdot b_j$。问每个点出发，跳到任意叶子节点最小代价。$n \leq 10^5$。

斜率优化的经典形式。启发式合并或者DSU on tree都可以。

给若干个向量，每个向量有个代价。可以选若干个，用非负系数组合它们，要求能组合出任意向量，问最小代价。$n\leq 2\times 10^5$。

每个向量等价于一个射线。相当于要找三个向量，使得两两之间极角差$ <\pi$。

每个向量取反之后插进去，发现答案一定首尾之间$<\pi$，并且答案形如“正反正”的三个向量。

特判四个互相垂直的情况。

$n$个点，问多少对顶点是这些点的三角形不相交（重合面积为$0$且无交点）。$n \leq 2000$。

结论：两个三角形不相交等价于它们有两条内公切线。

可以枚举两个点组成的公切线，求出两边点对数。

圆反演：有一个圆作为基础，设为单位圆。每个点到圆心的向量方向不变，长度变为倒数。

$n$次操作，每次加入一个过原点的圆，或者询问一个点$(x,y)$是否在所有圆内部。$n\leq 5\times 10^5$。

结论：过原点的圆反演后变成一条不过原点的直线。

在圆内部等价于反演后的点在反演后的直线特定的一侧。

动态半平面交，分治维护凸包即可。

给定平面上不相交的两个圆和圆外一点，求过这个点且与两个圆外切的圆。

结论：不过原点的圆反演后还是不过原点的圆，且相交/相切等位置关系反演后仍然成立（因为同一个点反演后还是同一个点）。

圆反演后求公切线即可，需要一些特判。

给出$n$个不相交的多边形，每次给出一个点，问它在哪个多边形内，或者不在任何一个多边形内，强制在线。$n,q\leq 10^5,\sum points\leq 3\times 10^5$。

多边形不相交是很强的限制。

硬点多边形的边是逆时针给出的。

对每个点找到竖直往上走最近的边，如果是从左往右则不在，否则在对应多边形内部。

如果可以离线，按横坐标扫描线一下，维护线段之间的上下位置关系。由于线段不相交，上下关系只会在插入删除时才会改变。用set维护就行了。

强制在线需要一个可持久化treap，不会写。

一大堆特判。

CF704E Iron Man

考虑一个二维平面，横轴时间，纵轴dfs序。

树剖以后变成$m\log n$条线段，求最早相交时间。

按$x$扫描线，set维护$y$的大小关系。

如果两条线段有交，它们一定在某个时刻在set中相邻，否则任意两条线段之间关系不会改变。

插入删除的时候check一下前驱后继即可。

一个凸多边形，$q$组询问，给出$(x_i,y_i)$，求经过这一点的直线，把凸多边形面积平分，输出极角或无解。$n\leq 10^4, q\leq 10^5$。

设$f(x)$表示极角为$x$的射线左侧-右侧的面积。有$f(0)=-f(\pi)$，所以必然存在零点，二分这个点即可。

考虑对叉积求前缀和，先二分出射线落在哪两条边上，然后内部的变化是线性的，可以直接算。

4.微积分在计算几何中的应用

这一段疯狂掉线……我太菜了。

偏导数：多元函数只导其中一维。
重积分：多元函数的每一维都积分，比如$k$维空间，对空间的每一个点都取一个函数值，取的足够细时有一个极限。
曲线积分：把曲线参数化然后积分。
闭合曲线的面积：掉线了，咕咕咕。
一元函数的极值：极大不代表最大，只需要一个足够小的邻域，在邻域内最大。极值点导数为$0$。
驻点：导数为$0$的点。极值点一定是驻点，驻点不一定是极值点。求一个函数的最大值，可以把所有驻点、不可导点都拉出来check一下。
对于多元函数，可以对每一维偏导，然后硬点每个偏导都为$0$，解方程就行了。
可以把原函数进行修改，使得它在一些边界可导（$|x|->x^2$）。
拉格朗日乘数法：假设有若干$g_i(x_1,…,x_n)=0$的限制条件，在这种条件下最大化$f(x_0,…,x_n)$的值，可以设$F(x_0,…,x_n,\lambda_0,…,\lambda_m)=f(x_0,…,x_n)+\sum_{j=0}^m\lambda_i g_i(x_1,…,x_n)$，然后对$F$的每一维偏导，利用上面的方法求解。
曲线的切线、法平面：掉线了，咕咕咕。
曲面的切平面、法线：掉线了，咕咕咕。