[洛谷P4107] HEOI2015 兔子与樱花

问题描述

很久很久之前，森林里住着一群兔子。有一天，兔子们突然决定要去看樱花。兔子们所在森林里的樱花树很特殊。樱花树由n个树枝分叉点组成，编号从0到n-1，这n个分叉点由n-1个树枝连接，我们可以把它看成一个有根树结构，其中0号节点是根节点。这个树的每个节点上都会有一些樱花，其中第i个节点有c_i朵樱花。樱花树的每一个节点都有最大的载重m，对于每一个节点i，它的儿子节点的个数和i节点上樱花个数之和不能超过m，即son(i) + c_i <= m，其中son(i)表示i的儿子的个数，如果i为叶子节点，则son(i) = 0

现在兔子们觉得樱花树上节点太多，希望去掉一些节点。当一个节点被去掉之后，这个节点上的樱花和它的儿子节点都被连到删掉节点的父节点上。如果父节点也被删除，那么就会继续向上连接，直到第一个没有被删除的节点为止。

现在兔子们希望计算在不违背最大载重的情况下，最多能删除多少节点。

注意根节点不能被删除，被删除的节点不被计入载重。

输入格式

第一行输入两个正整数，n和m分别表示节点个数和最大载重

第二行n个整数c_i，表示第i个节点上的樱花个数

接下来n行，每行第一个数k_i表示这个节点的儿子个数，接下来k_i个整数表示这个节点儿子的编号

输出格式

一行一个整数，表示最多能删除多少节点。

样例输入

10 4

0 2 2 2 4 1 0 4 1 1

3 6 2 3

1 9

1 8

1 1

0

0

2 7 4

0

1 5

0

样例输出

4

数据范围

对于30%的数据，1 <= n <= 5000, 1 <= m <= 100, 0 <= c_i <= 100

对于70%的数据，1 <= n <= 200000, 1 <= m <= 2000, 0 <= c_i <= 1000

对于100%的数据，1 <= n <= 2000000, 1 <= m <= 100000, 0 <= c_i <= 1000

数据保证初始时，每个节点樱花数与儿子节点个数之和大于0且不超过m

解析

可以发现，节点如何删除并不会影响该节点的祖先们。所以，我们可以从下到上依次遍历节点。设\(w[i]=son[i]+c[i]\)表示删除一个点的代价，即会使他的父亲增加\(w[i]\)的载重。那么，贪心策略为对于每个点按代价从小到大删除他的儿子直到不能删为止。删除的同时更新该节点的代价。

问题是这样做为什么是对的。下面简单讨论一下这种贪心策略是否有后效性。如果一个点因删除儿子变得过于臃肿，我们可以选择不删他而改删他的代价更小的兄弟节点，对最优答案并不会有影响。所以，不存在后效性。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <algorithm>
#define N 2000002
using namespace std;
vector<int> v[N];
int head[N],ver[N*2],nxt[N*2],l;
int n,m,i,j,c[N],son[N],w[N],ans;
int read()
{
	char c=getchar();
	int w=0;
	while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
	while(c<='9'&&c>='0'){
		w=w*10+c-'0';
		c=getchar();
	}
	return w;
}
void insert(int x,int y)
{
	l++;
	ver[l]=y;
	nxt[l]=head[x];
	head[x]=l;
}
int my_comp(const int &x,const int &y)
{
	return w[x]<w[y];
}
void dfs(int x)
{
	w[x]=son[x]+c[x];
	for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
		dfs(ver[i]);
		v[x].push_back(ver[i]);
	}
	sort(v[x].begin(),v[x].end(),my_comp);
	for(unsigned int i=0;i<v[x].size();i++){
		int y=v[x][i];
		if(w[x]+w[y]-1<=m){
			ans++;
			w[x]+=w[y]-1;
		}
		else break;
	}
}
int main()
{
	n=read();m=read();
	for(i=1;i<=n;i++) c[i]=read();
	for(i=1;i<=n;i++){
		son[i]=read();
		for(j=1;j<=son[i];j++){
			int x=read()+1;
			insert(i,x);
		}
	}
	dfs(1);
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}

Tips

贪心策略是从下到上对每个点删除代价最小的儿子直到不能删为止。

其实已经完全想到了贪心的策略，但是误认为这个策略是有后效性的，原因在于造成的损失不会大于得到的收益。关于后效性的问题，在下结论前需要仔细思考求证，不能粗略的凭感觉。