泊松分布 & 指数分布

一、泊松分布

日常生活中，大量事件是有固定频率的。

某医院平均每小时出生3个婴儿

某公司平均每10分钟接到1个电话

某超市平均每天销售4包xx牌奶粉

某网站平均每分钟有2次访问

它们的特点就是，我们可以预估这些事件的总数，但是没法知道具体的发生时间。已知平均每小时出生3个婴儿，请问下一个小时，会出生几个？

有可能一下子出生6个，也有可能一个都不出生。这是我们没法知道的。

泊松分布就是描述某段时间内，事件具体的发生概率。

上面就是泊松分布的公式。等号的左边，P 表示概率，N表示某种函数关系，t 表示时间，n 表示数量，1小时内出生3个婴儿的概率，就表示为 P(N(1) = 3) 。等号的右边，λ 表示事件的频率。

接下来两个小时，一个婴儿都不出生的概率是0.25%，基本不可能发生。

接下来一个小时，至少出生两个婴儿的概率是80%。

泊松分布的图形大概是下面的样子。

可以看到，在频率附近，事件的发生概率最高，然后向两边对称下降，即变得越大和越小都不太可能。每小时出生3个婴儿，这是最可能的结果，出生得越多或越少，就越不可能。

泊松分布使用范围

Poisson分布主要用于描述在单位时间(空间)中稀有事件的发生数. 即需满足以下四个条件：

1、给定区域内的特定事件产生的次数，可以是根据时间，长度，面积来定义；

2、各段相等区域内的特定事件产生的概率是一样的；

3、各区域内，事件发生的概率是相互独立的；

4、当给定区域变得非常小时，两次以上事件发生的概率趋向于0。

例如：

1、放射性物质在单位时间内的放射次数；

2、在单位容积充分摇匀的水中的细菌数；

3、野外单位空间中的某种昆虫数等。

泊松分布的期望和方差

由泊松分布知E[N(t) − N(t0)] = D[N(t) − N(t0)] = λ(t − t0)

特别的，令t_0=0.由于假设N(0)=0,故可推知泊松过程的均值函数和方差函数分别为E[N(t)] = λt,D[N(t)] = λt,

泊松过程的强度lambda （常数）等于单位长时间间隔内出现的质点数目的期望值。即对泊松分布有：E(X) = D(X) = λ

泊松分布的特征

1、泊松分布是一种描述和分析稀有事件的概率分布。要观察到这类事件，样本含量n必须很大。

2、λ是泊松分布所依赖的唯一参数。λ值愈小，分布愈偏倚，随着λ的增大，分布趋于对称。

3、当λ = 20时，分布泊松接近于正态分布；当λ = 50时，可以认为泊松分布呈正态分布。在实际工作中，当时就可以用正态分布来近似地处理泊松分布的问题。

二、指数分布

指数分布是事件的时间间隔的概率。下面这些都属于指数分布。

婴儿出生的时间间隔

来电的时间间隔

奶粉销售的时间间隔

网站访问的时间间隔

指数分布的公式可以从泊松分布推断出来。如果下一个婴儿间隔时间 t ，就等同于 t 之内没有任何婴儿出生。

反过来，事件在时间 t 之内发生的概率（至少出生一个的概率），就是1减去上面的值。

接下来15分钟，会有婴儿出生的概率是52.76%。

接下来的15分钟到30分钟，会有婴儿出生的概率是24.92%。

指数分布的图形大概是下面的样子。

可以看到，随着间隔时间变长，事件的发生概率急剧下降，呈指数式衰减。想一想，如果每小时平均出生3个婴儿，上面已经算过了，下一个婴儿间隔2小时才出生的概率是0.25%，那么间隔3小时、间隔4小时的概率，是不是更接近于0？

指数分布的概率密度为：

式中：x是给定的时间；λ为单位时间事件发生的次数；e＝2.71828。

指数分布概率密度曲线如下图：

指数分布具有以下特征：

（1）随机变量X的取值范围是从0到无穷；

（2）极大值在x＝0处，即f(x)＝λ；

（3）函数为右偏，且随着x的增大，曲线稳步递减；

（4）随机变量的期望值和方差为µ＝1/λ，σ²＝1/λ²。

通过对概率密度函数的积分，就可以得到相应的概率，其表达式有两种

P(X≥x)＝e^-^λx

P(X≤x)＝1－e^-^λx

例：某电视机生产厂生产的电视机平均10年出现大的故障，且故障发生的次数服从泊松分布。

问（1）该电视机使用15年后还没有出现大故障的比例；（2）如果厂家想提供大故障免费维修的质量担保，但不能超过全部产量的20%，试确定提供担保的年数。

解：

（1）设X为电视机出现大故障的时间。已知µ＝10年，则λ＝1/µ＝0.1，于是，P(X≥x)＝e^-^λx＝e-0.1*15≈0.223。则15年后，没有出现大故障的电视机约占22.3%。

（2）问题要求比例不超过20%，这是求X的右侧概率面积，现在根据公式确定适当的X值。

电视机各年累计出现的故障比例
担保年数X	累计概率P(X≤x)＝1－e^-^λx
1	0.095
2	0.181
3	0.259

从表中可以看到：担保2年时，出现大故障的比例是18.1%，不超过20%。担保3年时，出现大故障的比例为25.9%，已经超过20%。所以，厂家应以2年为担保期。

泊松分布是二项式分布的细分，当n→∞，p非常小的时候。