Codeforces 851B/C

B. Arpa and an exam about geometry

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本题是一个平面几何问题。

平面上有3个点A,B,C，坐标分别为(a_x,a_y),(b_x,b_y),(c_x,c_y)。现以平面上一点P为中心，将点A,B,C旋转角度θ，旋转后的点分别为A’,B’,C’。试问：是否存在点P和角度θ，使得“点A’与点B重合，点B’与点C重合”？

以上条件等价于：存在点P和角度θ，使得“|PA|=|PB|=|PC|，且∠APB=∠BPC=θ”。

考虑点A,B,C的几何关系：

若A,B,C位于同一条直线上，则不存在满足条件的点P和角度θ；

若A,B,C不位于同一条直线上，若存在满足条件的点P和角度θ，则由等价条件可知：△APB≌△BPC，因此|AB|=|BC|。

因此，题中条件成立，当且仅当“A,B,C不共线，且|AB|=|BC|”。

A,B,C三点共线的一个充分条件是直线AB与BC的斜率相等，但这是一个充分不必要条件。

A,B,C三点共线的一个充分必要条件可以通过向量形式给出：

向量α₁=(Δx₁,Δy₁)^T,α₂=(Δx₂,Δy₂)^T，其中Δx₁=b_x-a_x,Δy₁=b_y-a_y,Δx₂=c_x-b_x,Δy₂=c_y-b_y。

若向量α₁与α₂共线，则向量组α₁,α₂线性相关。设A=(α₁,α₂)，则detA=0。

$$\det A=\left|\begin{matrix}\Delta x_1&\Delta x_2\\\Delta y_1&\Delta y_2\end{matrix}\right|=0\Leftrightarrow\Delta x_1\cdot\Delta y_2=\Delta x_2\cdot\Delta y_1$$

因此，A,B,C三点共线的一个充分必要条件是Δx₁·Δy₂=Δx₂·Δy₁。参考程序如下：

#include <stdio.h>
#include <stdint.h>
 
int main(void)
{
    int ax, ay, bx, by, cx, cy;
    scanf("%d%d%d%d%d%d", &ax, &ay, &bx, &by, &cx, &cy);
    int64_t dx1 = bx - ax, dy1 = by - ay;
    int64_t dx2 = cx - bx, dy2 = cy - by;
    if (dx1 * dy2 == dx2 * dy1) printf("No\n");
    else {
        if (dx1 * dx1 + dy1 * dy1 == dx2 * dx2 + dy2 * dy2) printf("Yes\n");
        else printf("No\n");
    }
    return ;
}

C. Five Dimensional Points

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本题是一个空间几何问题。

在五维空间中，有n个不同的点P₁,P₂,...,P_n，P_i的坐标为(a_i,b_i,c_i,d_i,e_i)。现有定义：点A为bad，当且仅当存在不同于点A的点B和点C，使得向量AB与AC的夹角为锐角；否则，点A为good。求{1,2,...,n}的子集S，使得对于S中的每一个元素i，均有P_i为good。

向量的夹角按照以下公式计算：$<\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}>=\arccos \frac{\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}$

而对于向量a=(a₁,a₂,...,a_k)，b=(b₁,b₂,...,b_k)，内积a·b的计算公式为： $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=\sum_{j=1}^{k}{a_{j}b_{j}}$

本题直接模拟即可，时间复杂度为O(n³)。

参考程序如下：

#include <stdio.h>
#include <stdbool.h>
#define MAX_N 1000
 
typedef int quint[];
 
quint p[MAX_N], v[MAX_N][MAX_N];
int good[MAX_N];
 
int main(void)
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = ; i < n; i++) {
        for (int k = ; k < ; k++) {
            scanf("%d", &p[i][k]);
        }
    }
    for (int i = ; i < n; i++) {
        for (int j = ; j < n; j++) {
            for (int k = ; k < ; k++) {
                v[i][j][k] = p[j][k] - p[i][k];
            }
        }
    }
    int cnt = ;
    for (int t = ; t < n; t++) {
        bool flag = false;
        for (int i = ; i < n; i++) {
            for (int j = ; j < i; j++) {
                int inp = ;
                for (int k = ; k < ; k++) {
                    inp += v[t][i][k] * v[t][j][k];
                }
                if (inp > ) {
                    flag = true;
                    break;
                }
            }
        }
        if (!flag) {
            good[cnt++] = t + ;
        }
    }
    printf("%d\n", cnt);
    for (int i = ; i < cnt; i++) {
        printf("%d\n", good[i]);
    }
    return ;
}