B. Arpa and an exam about geometry

传送门:http://codeforces.com/contest/851/problem/B

本题是一个平面几何问题。

平面上有3个点A,B,C,坐标分别为(ax,ay),(bx,by),(cx,cy)。现以平面上一点P为中心,将点A,B,C旋转角度θ,旋转后的点分别为A’,B’,C’。试问:是否存在点P和角度θ,使得“点A’与点B重合,点B’与点C重合”?

以上条件等价于:存在点P和角度θ,使得“|PA|=|PB|=|PC|,且∠APB=BPC=θ”。

考虑点A,B,C的几何关系:

A,B,C位于同一条直线上,则不存在满足条件的点P和角度θ

A,B,C不位于同一条直线上,若存在满足条件的点P和角度θ,则由等价条件可知:△APB≌△BPC,因此|AB|=|BC|

因此,题中条件成立,当且仅当“A,B,C不共线,且|AB|=|BC|”。

A,B,C三点共线的一个充分条件是直线ABBC的斜率相等,但这是一个充分不必要条件。

A,B,C三点共线的一个充分必要条件可以通过向量形式给出:

向量α1=(Δx1y1)T,α2=(Δx2y2)T,其中Δx1=bx-axy1=by-ayx2=cx-bxy2=cy-by

若向量α1α2共线,则向量组α1,α2线性相关。设A=(α1,α2),则detA=0。

$$\det A=\left|\begin{matrix}\Delta x_1&\Delta x_2\\\Delta y_1&\Delta y_2\end{matrix}\right|=0\Leftrightarrow\Delta x_1\cdot\Delta y_2=\Delta x_2\cdot\Delta y_1$$

因此,A,B,C三点共线的一个充分必要条件是Δx1·Δy2x2·Δy1。参考程序如下:

#include <stdio.h>
#include <stdint.h> int main(void)
{
int ax, ay, bx, by, cx, cy;
scanf("%d%d%d%d%d%d", &ax, &ay, &bx, &by, &cx, &cy);
int64_t dx1 = bx - ax, dy1 = by - ay;
int64_t dx2 = cx - bx, dy2 = cy - by;
if (dx1 * dy2 == dx2 * dy1) printf("No\n");
else {
if (dx1 * dx1 + dy1 * dy1 == dx2 * dx2 + dy2 * dy2) printf("Yes\n");
else printf("No\n");
}
return ;
}

C. Five Dimensional Points

传送门:http://codeforces.com/contest/851/problem/C

本题是一个空间几何问题。

在五维空间中,有n个不同的点P1,P2,...,PnPi的坐标为(ai,bi,ci,di,ei)。现有定义:点A为bad,当且仅当存在不同于点A的点B和点C,使得向量ABAC的夹角为锐角;否则,点A为good。求{1,2,...,n}的子集S,使得对于S中的每一个元素i,均有Pi为good。

向量的夹角按照以下公式计算:$<\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}>=\arccos \frac{\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}$

而对于向量a=(a1,a2,...,ak),b=(b1,b2,...,bk),内积a·b的计算公式为: $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=\sum_{j=1}^{k}{a_{j}b_{j}}$

本题直接模拟即可,时间复杂度为O(n3)。

参考程序如下:

#include <stdio.h>
#include <stdbool.h>
#define MAX_N 1000 typedef int quint[]; quint p[MAX_N], v[MAX_N][MAX_N];
int good[MAX_N]; int main(void)
{
int n;
scanf("%d", &n);
for (int i = ; i < n; i++) {
for (int k = ; k < ; k++) {
scanf("%d", &p[i][k]);
}
}
for (int i = ; i < n; i++) {
for (int j = ; j < n; j++) {
for (int k = ; k < ; k++) {
v[i][j][k] = p[j][k] - p[i][k];
}
}
}
int cnt = ;
for (int t = ; t < n; t++) {
bool flag = false;
for (int i = ; i < n; i++) {
for (int j = ; j < i; j++) {
int inp = ;
for (int k = ; k < ; k++) {
inp += v[t][i][k] * v[t][j][k];
}
if (inp > ) {
flag = true;
break;
}
}
}
if (!flag) {
good[cnt++] = t + ;
}
}
printf("%d\n", cnt);
for (int i = ; i < cnt; i++) {
printf("%d\n", good[i]);
}
return ;
}

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