待字闺中之Magic Index 分析

给定一个数组A，当中有一个位置被称为Magic Index，含义是：如果i是Magic Index。则A[i] = i。

如果A中的元素递增有序、且不反复，请给出方法，找到这个Magic
Index。更进一步。当A中同意有反复的元素，该怎么办呢？

没有反复元素的情况

一些同学在遇到这个题目的时候，往往会认为比較简单。扫描一遍，不就ok了么？O(n)的。非常easy呀。但是，大家要注意到，另一个条件没实用：A中的元素是有序递增的。

这个条件，并非放在这里迷惑大家的。而是有更大的作用的。

这个时候，该怎样想呢？O(n)不是最好的方法，更好的是什么呢？怎么利用数组有序呢？在有序的数组中查找一个满足特定元素的条件。我们一般会想到二分查找。 我们来回想一下二分查找，对于要查找的目标t，我们首先与数组中间的元素比較，假设t大于中间的元素，则在右半部分继续查找；假设t小于中间的元素，则在左半部分，继续查找。

那么。我们的题目可以利用上述的思想呢？我们来看一个详细的样例：

0    1    2    3    4    5    6
-10    -5    1    2    4    10    12

mid=3。A[mid] = 2，即A[mid] < mid。接下来，我们应该在哪一边查找呢？我们知道数组的元素是递增有序，且不反复的。也就是说，在A[mid]左边的元素，比A[mid]都要小。没有反复，意味着什么呢？每向左移动一位，至少减1。所以，在mid左边，不可能有一个i，A[i]=i的。假设有。依据前面的分析。我们知道A[mid] - A[i] >= mid - i, 假设A[i] = i。则，A[mid] >= mid, 这与事实A[mid] < mid相悖。所以，接下来，仅仅能在右边进行查找。

代码与二分查找也非常像。

详细代码例如以下：

int MagicIndex(vector<int>& data)
{
	int begin = 0,end = data.size()-1;
	while(begin <= end)
	{
		int mid = begin + ((end - begin) >> 1);
		if(data[mid] > mid)end = mid -1;
		else if(data[mid] < mid)begin = mid + 1;
		else return mid;
	}
	return -1;
}

有反复元素的情况

假设数组A中，有反复元素，是什么情况呢？经过前面的分析。我们知道，是否有反复的主要区别在，数组的元素从右到左进行递减，每次不一定至少是1了。有可能是0了。

让我们直观的看一下影响吧。

0    1    2    3    4    5    6
-10    2    2    2    9    10    12

看上面的数组，相同A[mid] < mid。我们应该继续查右边么？显然，右边并不存在Magic Index。查找右边，就会找不到这种Magic Index。

此时，应该怎样处理呢？我们无法确定，Magic Index是在左边，还是在右边了。那就两边都递归进行处理吧。

在这里另一个小技巧，我们就是要分别递归处理[0, mid - 1]和[mid + 1， end]（end是数组长度-1）么？我们看一个详细的样例：

0      1    2    3    4    5     6    7     8
-10    2    2    2    2    10    12   15   20

这个样例，当我们进行左半部分递归处理的时候。须要考虑的范围是[0, 3]。可实际上。我们仅仅须要考虑[0, 2]。原因是，数组元素在mid=4的左边的值都要小于或者等于A[mid]=2，所以最大的一个有可能是Magic Index的。就是index为A[mid]的情况。所以，这时右边的边界应该是min(mid - 1, A[mid])。

那么，右边的情况呢？例如以下样例：

0      1    2    3    4    5     6    7    8
-10    2    2    2    9    10    12  15   20

此时，要在右半部分进行查找。范围通常是[5, 8]。可是，因为数组有序，后面的值，一定是大于等于A[mid]=9的。

所以。有可能是Magic Index的最小Index是9，也就是说右边的递归。应该是从索引为9的位置開始。此例，就意味着，无需处理右边了。

详细代码例如以下：

int MagicIndexDup(vector<int>& data,int begin,int end)

{

if(begin > end)return -1;

int mid = begin + ((end - begin) >> 1);

if(data[mid] == mid)return mid;

int res = MagicIndexDup(data,begin,min(mid-1,data[mid]));//递归左边

if( res == -1)res = MagicIndexDup(data,max(mid+1,data[mid]),end);//递归右边

return res;

}

int MagicIndexDup(vector<int>& data)

{

return MagicIndexDup(data,0,data.size()-1);

}