noip模拟赛 SAC E#1 - 一道中档题 Factorial

题目背景

数据已修改

SOL君（炉石主播）和SOL菌（完美信息教室讲师）是好朋友。

题目描述

SOL君很喜欢阶乘。而SOL菌很喜欢研究进制。

这一天，SOL君跟SOL菌炫技，随口算出了n的阶乘。

SOL菌表示不服，立刻就要算这个数在k进制表示下末尾0的个数。

但是SOL菌太菜了于是请你帮忙。

输入输出格式

输入格式：

每组输入仅包含一行：两个整数n，k。

输出格式：

输出一个整数：n!在k进制下后缀0的个数。

输入输出样例

输入样例#1：

10 40

输出样例#1：

2

说明

对于20%的数据，n <= 1000000， k = 10

对于另外20%的数据，n <= 20， k <= 36

对于100%的数据，n <= 10^12，k <= 10^12

update

1.一组数据

2.K不会==1

3.现在std没有爆long long

4.对数据有问题联系icy （建议大家不要面向数据编程）

分析：k=10就是一个非常经典的问题，将n!分解质因数，看看有多少个5就可以了.现在考虑k≠10的情况，模拟一下进制转换，就是不断地%k,/k,我们就是要求一开始k能整除n!多少次.

n!,k过大，显然不能直接算，涉及到倍数，我们可以分解一下k,看看k的质因子是不是n!都有，并且n中的次数大于等于k中的次数.假设n!有一个因子p1,次数为b1,它在k中的次数为b2,每做一次除法就是b1-=b2,每次做除法后都必须保证k中的质因子n!都有，并且次数不能小于k中的.能做多少次除法呢？把相同质因子的次数相除，取个min就可以了.

还有一个问题：k可以直接分解质因数，但是n!就非常大了，我们根本算不出来,怎么才能统计k中的每个质因数在n！中出现的次数呢?对于一个质因数p,1~n个数中有n / p个数包含这个质因子，有n / (p ^ 2)个数包含p^2,也就是相当于包含了p.我们求出包含了p^i的个数，最后相加一下就是答案了.因为阶乘嘛，最后乘起来等于指数的相加.

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>

using namespace std;

long long n, k;
long long cnt, p[], tot[], ans = ;

void f(long long x)
{
    for (long long i = ; i * i <= x; i++)
    {
        if (x % i == )
        {
            p[++cnt] = i;
            while (x % i == )
            {
                tot[i]++;
                x /= i;
            }
        }
    }
    if (x != )
    {
        p[++cnt] = x;
        tot[x]++;
    }
}

long long cal(long long x, long long y)
{
    //printf("%lld %lld\n", x, y);
    if (y > x)
        return ;
    return x / y + cal(x / y, y);
}

int main()
{
    scanf("%lld%lld", &n, &k);
    f(k);
    for (int i = ; i <= cnt; i++)
        ans = min(ans, cal(n, p[i]) / tot[p[i]]);
    printf("%lld\n", ans);

    return ;
}