uva 11300 Spreading the Wealth_数学推倒 + 思维

这道题和负载平衡问题是同一道题， 如果 $n <= 100$ 的话是可以用最小费用流来求解的。
但是题中 $n$ 最大可达到 $10^6$, 这就需要我们进行一些性质分析与推导。
首先， 我们设每个·人手里最终金币数为 $C$
设 $X_{i}$ 为第 $i$个人给第 $i+1$ 个人的金币数目， 这个数目可以为负(第$i + 1$ 个人向左给了第$i$ 个人$|X_{i}|$个。
则我们不难发现：
1. $A_{2}+X_{1}-X_{2}=C$
2. $A_{3}+X_{2}-X_{3}=C$
3. $A_{4}+X_{3}-X_{4}=C$
4. ...
5. $A_{i}+X_{i-1}-X_{i}=C$
而这道题要求的其实就是$min|X_{1}| + |X_{2}| + |X_{3}| + |X_{4}| +... |X_{n}|$
那么，我们可将上面的等式进行变形，得：
1. $X_{1} = X_{1}$
2. $X_{2} =A_{2}-C+X_{1}$
3. $X_{3} =A_{2} + A_{3}-2*C+X_{1}$
4. $X_{4} =A_{2} + A_{3} +A_{4}-3*C+X_{1}$
5. $X_{5} =A_{2}+A_{3}+A_{4}+A_{5}-4*C+X_{1}$
此时，相信聪明的读者们不难发现规律：
$X_{i} = \sum\limits_{k=2}^i-(i-1)*C+X_{1}$ 即 $X_{i} = \sum\limits_{k=2}^i-(i-1)*C-（-X_{1}）$
我们可以把$X_{1}$抽象成数轴上的一个点， 我们设$g_{i}= \sum\limits_{k=2}^i-(i-1)*C$，那么我们希望 $X_{1}$ 到所有 $g_{i}$ 的距离和最短，这个 $X_{i}$ 一定是 $g_{i}$中的中位数，于是我们将所有的 $g_{i}$ 排序，取中位数作为 $X_{1}$ 即可，我们也就能顺便推出所有的 $X_{i}$ ，最后加和即可，总时间复杂度为 $O(nlogn)$