uva11426(莫比乌斯反演)
传送门:GCD Extreme (II)
题意:给定n(n<=4000000),求G
G=0
for(int i=1;i<n;i++)
for(int j=i+1;j<=n;j++)
G+=gcd(i,j).
分析:这题本来应该欧拉函数预处理来解决,不过尝试一下莫比乌斯反演,没想到也AC了,复杂度O(nlog(n)),应该是题目100case中大数据不多,不然会超时吧。
设F(n)表示gcd(x,y)==n的倍数所有gcd之和,f(n)表示gcd(x,y)==n的所有gcd之和,那么反演有:
f(1)=mu(1)*F(1)+mu(2)*F(2)+...+mu(n)*F(n).
f(2)=mu(1)*F(2)+mu(2)*F(4)+...+mu(n/2)*F(n).
......
F(d)=(n/i)*(n/i-1)/2*d(其中i%d==0).
用筛素数的方法就可求出所有的f(i)了。
#pragma comment(linker,"/STACK:1024000000,1024000000")
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cmath>
#include <limits.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <cstdlib>
#include <stack>
#include <vector>
#include <set>
#include <map>
#define LL long long
#define mod 100000000
#define inf 0x3f3f3f3f
#define eps 1e-6
#define N 4000000
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define PII pair<int,int>
using namespace std;
inline int read()
{
char ch=getchar();int x=,f=;
while(ch>''||ch<''){if(ch=='-')f=-;ch=getchar();}
while(ch<=''&&ch>=''){x=x*+ch-'';ch=getchar();}
return x*f;
}
bool vis[N+];
int mu[N+],prime[N+],sum[N+],cnt[N+];
void Mobius()
{
memset(vis,false,sizeof(vis));
mu[]=;
int tot=;
for(int i=;i<=N;i++)
{
if(!vis[i])
{
prime[tot++]=i;
mu[i]=-;
}
for(int j=;j<tot;j++)
{
if(i*prime[j]>N)break;
vis[i*prime[j]]=true;
if(i%prime[j]==)
{
mu[i*prime[j]]=;
break;
}
else
{
mu[i*prime[j]]=-mu[i];
}
}
}
} int main()
{
int n;
Mobius();
while(scanf("%d",&n),n)
{
LL ans=;
for(int i=;i<=n;i++)
for(int j=i;j<=n;j+=i)
ans+=(LL)mu[j/i]*(n/j)*(n/j-)/*i;
printf("%lld\n",ans);
}
}
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