Ising模型（伊辛模型）

Ising模型（伊辛模型）是一个最简单且能够提供非常丰富的物理内容的模型。可用于描写叙述非常多物理现象，如：合金中的有序-无序转变、液氦到超流态的转变、液体的冻结与蒸发、玻璃物质的性质、森林火灾、城市交通等。Ising模型的提出最初是为了解释铁磁物质的相变，即磁铁在加热到一定临界温度以上会出现磁性消失的现象，而降温到临界温度下面又会表现出磁性。这样的有磁性、无磁性两相之间的转变。是一种连续相变（也叫二级相变）。Ising模型如果铁磁物质是由一堆规则排列的小磁针构成，每一个磁针仅仅有上下两个方向（自旋）。相邻的小磁针之间通过能量约束发生相互作用。同一时候又会因为环境热噪声的干扰而发生磁性的随机转变（上变为下或反之）。涨落的大小由关键的温度參数决定。温度越高，随机涨落干扰越强。小磁针越easy发生无序而剧烈地状态转变。从而让上下两个方向的磁性相互抵消，整个系统消失磁性。如果温度非常低，则小磁针相对宁静，系统处于能量约束高的状态,大量的小磁针方向一致,铁磁系统展现出磁性。

科学家对该模型的广泛兴趣还源于它是描写叙述相互作用的粒子（或者自旋）最简单的模型。Ising模型是一个很easy的模型，在一维、二维、三维的每一个格点上占领一个自旋。

自旋是电子的一个内部性质。每一个自旋在空间有两个量化方向。即其指向能够向上或者向下。虽然该模型是一个最简单的物理模型。眼下仅有一维和二维的精确解。

考虑一维Ising模型。M个自旋排成一排，每一个自旋与其左右两个近期邻的自旋之间有相互作用。简单起见，我们仅仅考虑倾向于使近邻自旋的方向一致的相互作用。二维正方Ising模型就是由N个同样的自旋排。每一个自旋不但与其左右两个近期邻的自旋相互作用，并且与前后相邻的自旋排中两个近期邻的自旋相互作用，project了 一个二维的自旋阵列。

三维立方Ising模型就是有L个同样的二维自旋阵列，每一个自旋与其左右、前后、上下六个近期邻的自旋相互作用。不难发现。随着维度的添加。每一个自旋的近期邻自旋树木添加。与周围自旋的相互作用也在增强。

可是，系统的演化并不全然由总能量决定。因为小磁针处于噪声环境中，热涨落又会引起小磁针的状态随机反转。

我们能够用温度来衡量这样的环境影响的随机性。T越高，则小磁针发生反转的概率就会越大。

这样，有两种力作用在小磁针上，一种力来源于小磁针邻居以及外场对它的影响，这样的影响倾向于使得相邻的邻居彼此状态一致以及与外场尽量一致。即尽量使得系统的总能量达到最小。第二种力则来源于环境噪声的扰动。它迫使小磁针无视邻居的作用而发生随机的状态反转。

于是。每一个小磁针就挣扎于这两种不同的力量之间。不难想象。假如温度T趋于0，则每一个小磁针都会与外场相一致。那么。终于系统将处于全是+1或者全是-1的状态（取决于外场H是正还是负）。

假如T特别高，而相互作用强度J特别小，则邻居间的作用能够忽略，每一个小磁针都全然随机地取值。

这样，整个ISING模型就有两个外生给定的參数来表示环境的温度和磁场强度。

在村民的比喻中,温度相当于村民进行观点选择的自由程度。温度越高，村民选择观点越随机，而不受自己周围邻居的影响；否则村民的选择严重依赖于邻居和媒体宣传。