[BZ1925] [SDOI2010]地精部落

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传送门

一道很有意思的DP题。

我们发现因为很难考虑每个排列中的数是否使用过，所以我们想到只维护相对关系。

当我们考虑新的一个位置时，给新的位置的数分配一个排名（可以理解为把这个位置的大小插入在原来两个位置的大小的中间）。

所以令\(dp[i][j][0/1]\)表示前i个数，第i个数在前i个数中排名为j，最后两个数是上升/下降时的相对关系的方案数。

那么有：

\[dp[i][j][0]=\sum_{k=1}^{j-1}dp[i-1][k][1]\\
dp[i][j][1]=\sum_{k=j}^{i-1}dp[i-1][k][0]\\
dp[1][1][1]=dp[1][1][0]=1;
\]

然后前缀和优化一下：

\[f[i][j][0]=\sum_{k=1}^{j}dp[i][j][0]\\
f[i][j][1]=\sum_{k=1}^{j}dp[i][j][1]\\
\]

那么转移就是：

\[dp[i][j][0]=f[i-1][j-1][1]\\
dp[i][j][1]=f[i-1][i-1][0]-f[i-1][j-1][0]\\
初始化：f[1][1][0]=f[1][1][1]=1
\]

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
const int maxn=4500;
using namespace std;
int n,p;
int dp[2][maxn][2],f[2][maxn][2];
int main() {
    scanf("%d%d",&n,&p);
    dp[1][1][0]=dp[1][1][1]=f[1][1][1]=f[1][1][0]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++) {
        int md=i&1;
        for(int j=1;j<=i;j++)dp[md][j][0]=dp[md][j][1]=0;
        for(int j=1;j<=i;j++) {
            dp[md][j][0]+=f[md^1][j-1][1];dp[md][j][0]%=p;
            dp[md][j][1]+=f[md^1][i-1][0]-f[md^1][j-1][0];dp[md][j][1]%=p;
        }
        for(int j=1;j<=i;j++) {
            f[md][j][0]=f[md][j-1][0]+dp[md][j][0];f[md][j][0]%=p;
            f[md][j][1]=f[md][j-1][1]+dp[md][j][1];f[md][j][1]%=p;
        }
    }
    printf("%d",(((f[n&1][n][1]+f[n&1][n][0])%p)+p)%p);
}